Un nombre réel non négatif L pour une application entre espaces métriques tel que la distance entre images ne dépasse jamais L fois la distance entre les entrées : d(f(x),f(y)) ≤ L d(x,y) pour tous x,y.

Principe

La constante Lipschitzienne fournit une borne globale uniforme sur l'aggrandissement des distances ; les applications de Lipschitz finie sont uniformément continues, et lorsque L<1 ce sont des contractions avec de fortes propriétés de point fixe.

Démonstration

Un opérateur linéaire entre espaces normés a pour constante Lipschitzienne sa norme d'opérateur ; l'application f(x)=Cx a L=|C|, et une contraction comme f(x)=0.5x sur R a L=0.5.

Mauvaise application

Confondre la Lipschitzité locale et l'existence d'une constante Lipschitz globale ou déduire la différentiabilité de l'existence d'une constante finie conduit à des erreurs ; une application Lipschitz n'est pas nécessairement différentiable partout.

Conséquence

Une constante Lipschitz valide permet de contrôler le diamètre des images, la stabilité sous perturbations et — si L<1 — garantit un point fixe unique par le théorème du point fixe de Banach avec des taux explicites de convergence.

Inversion

La notion duale est une application bi-Lipschitz qui possède aussi une borne inférieure uniforme, assurant l'inversibilité avec distorsion contrôlée ; l'absence d'un L fini indique des expansions locales potentiellement arbitrairement grandes.

Limite

Définie pour des applications entre espaces métriques ; la constante n'est pas unique (toute valeur plus grande convient aussi) et le comportement Lipschitz peut échouer sur des espaces métriques non bornés ou quand l'application n'est que localement Lipschitz.

Tension sémantique

Tension entre constante Lipschitzienne et module de continuité : la première correspond à un module linéaire (ω(t)=Lt), alors que des modules plus généraux autorisent un contrôle sous-linéaire (Hölder) ; de plus, la norme d'opérateur coïncide avec la constante Lipschitz pour les applications linéaires mais pas pour les non linéaires.

Synthèse

La constante Lipschitzienne est le module d'expansion quantitatif le plus simple pour une application : un scalaire uniforme L qui borne les distances des images par L fois les distances des entrées, assurant continuité uniforme et, en cas de contraction, existence et unicité avec convergence contrôlée.