Un número real no negativo L para una función entre espacios métricos tal que la distancia entre imágenes nunca excede L veces la distancia entre entradas: d(f(x),f(y)) ≤ L d(x,y) para todo x,y.

Principio

La constante de Lipschitz proporciona una cota global uniforme sobre cuánto puede expandir la función las distancias; las funciones con L finito son uniformemente continuas, y cuando L<1 son contracciones con fuertes propiedades de punto fijo.

Demostración

Un operador lineal entre espacios normados tiene como constante de Lipschitz su norma de operador; f(x)=Cx tiene L=|C|, y una contracción como f(x)=0.5x en R tiene L=0.5.

Aplicación incorrecta

Confundir Lipschitz local con constante de Lipschitz global o suponer diferenciabilidad por la existencia de una constante finita lleva a errores; una función Lipschitz no tiene por qué ser diferenciable en todos los puntos.

Consecuencia

Una constante de Lipschitz válida da control sobre el diámetro de las imágenes, estabilidad ante perturbaciones y —si L<1— garantiza un punto fijo único por el teorema del punto fijo de Banach con tasas de convergencia explícitas.

Inversión

La noción dual es una aplicación bi-Lipschitz que además posee una cota inferior uniforme, dando invertibilidad con distorsión controlada; la ausencia de un L finito indica expansiones locales potencialmente arbitrariamente grandes.

Límite

Definida para funciones entre espacios métricos; la constante no es única (cualquier valor mayor también vale) y el comportamiento Lipschitz puede fallar en espacios métricos no acotados o cuando la función es solo localmente Lipschitz.

Tensión semántica

Tensión entre la constante de Lipschitz y el módulo de continuidad: la primera corresponde a un módulo lineal (ω(t)=Lt), mientras que módulos más generales permiten control sublineal (Hölder); además, la norma de operador coincide con la constante de Lipschitz para mapas lineales pero no para no lineales.

Síntesis

La constante de Lipschitz es la medida cuantitativa más simple de expansión de una función: un escalar uniforme L que acota las distancias de imagen por L veces las distancias de entrada, asegurando continuidad uniforme y, en el caso de contracciones, existencia y unicidad con convergencia controlada.