La dimension de recouvrement (ou dimension de recouvrement de Lebesgue) d’un espace topologique X est le plus petit entier n≥0 tel que tout recouvrement ouvert de X admette un raffinement ouvert dont l’ordre est au plus n+1 (aucun point n'appartient à plus de n+1 éléments) ; si un tel n n'existe pas, la dimension est infinie.

Principe

Fondée sur l’ordre de recouvrement des raffinements d’un recouvrement ouvert : la dimension mesure combien de voisinages locaux doivent se chevaucher pour couvrir l’espace ; c’est un invariant topologique préservé par les homéomorphismes et stable sous de nombreuses constructions en théorie de la dimension.

Démonstration

R^n a pour dimension de recouvrement n : tout recouvrement ouvert admet un raffinement d’ordre n+1 en utilisant des partitions de l’unité ou des cartes coordonnées. Les espaces totalement disconnexes comme l’ensemble de Cantor ont dimension de recouvrement 0 car chaque point admet des voisinages clopen arbitrairement petits qui ne se chevauchent pas.

Mauvaise application

Confondre la dimension de recouvrement avec les dimensions métriques (Hausdorff, Minkowski) — un ensemble peut avoir dimension topologique 0 et une dimension de Hausdorff positive ; ou supposer que la dimension de recouvrement est stable par applications continues arbitraires (elle ne l'est pas, seulement par homéomorphismes et certains quotients).

Conséquence

Fournit une notion topologique grossière de dimension utilisée en théorie des variétés, dans les résultats de classification et la théorie des obstructions ; les variétés topologiques de dimension n sont localement homéomorphes à R^n, et la dimension de recouvrement contraint l'existence d'immersions, d'immersions embeddings et de bornes cohomologiques.

Inversion

Inverser la notion consisterait à mesurer la multiplicité d'intersection minimale nécessaire en considérant des recouvrements qui se chevauchent de façon arbitraire ; cette perspective mène à des notions de complexité de recouvrement élevée plutôt qu'à des modèles locaux de faible dimension.

Limite

S’applique aux espaces topologiques généraux mais est la plus informative pour les espaces séparables, paracompacts ou métriques ; elle ignore l’échelle métrique et les caractéristiques mesurables et peut diverger d’autres notions de dimension sur des espaces pathologiques.

Tension sémantique

Tension avec les dimensions métriques (Hausdorff, Minkowski) : la dimension de recouvrement est purement topologique et entière, tandis que les dimensions métriques captent l’échelle et peuvent être non entières ; les deux renseignent sur des aspects géométriques différents d’un ensemble.

Synthèse

La dimension de recouvrement est l’entier minimal n qui contrôle le recouvrement local par voisinages : un invariant topologique classifiant les espaces selon le nombre de voisinages qui doivent se chevaucher localement, distinct des notions métriques ou fractales.