La dimensión de recubrimiento (también dimensión de recubrimiento de Lebesgue) de un espacio topológico X es el menor entero n≥0 tal que todo recubrimiento abierto de X admite un refinamiento abierto cuya orden sea a lo sumo n+1 (ningún punto pertenece a más de n+1 conjuntos); si no existe tal n la dimensión es infinita.

Principio

Basada en el orden de solapamiento de refinamientos de recubrimientos abiertos: la dimensión mide cuántas parcelas locales deben solaparse para cubrir el espacio; es un invariante topológico preservado por homeomorfismos y por varias construcciones estándar en teoría de la dimensión.

Demostración

R^n tiene dimensión de recubrimiento n: todo recubrimiento abierto admite un refinamiento de orden n+1 usando particiones de la unidad o cartas coordenadas. Espacios totalmente disconexos como el conjunto de Cantor tienen dimensión de recubrimiento 0 porque cada punto posee vecindades clopen arbitrariamente pequeñas que no se solapan.

Aplicación incorrecta

Confundir la dimensión de recubrimiento con dimensiones métricas (Hausdorff, Minkowski): un conjunto puede tener dimensión topológica 0 y dimensión de Hausdorff positiva; o suponer que la dimensión de recubrimiento es estable bajo aplicaciones continuas arbitrarias (no lo es, salvo para homeomorfismos y ciertos cocientes).

Consecuencia

Proporciona una noción topológica de dimensión usada en teoría de variedades, resultados de clasificación y teoría de obstrucciones; las variedades topológicas de dimensión n son localmente homeomorfas a R^n, y la dimensión de recubrimiento condiciona la existencia de ciertas inmersiones y cotas cohomológicas.

Inversión

Invertir la noción consistiría en medir la multiplicidad mínima de solapamiento necesaria considerando recubrimientos que deben solaparse mucho; esa perspectiva conduce a nociones de complejidad de recubrimiento alta en lugar de modelos locales de baja dimensión.

Límite

Se aplica a espacios topológicos generales pero resulta más informativa en espacios separables, paracompactos o métricos; ignora la escala métrica y las características medibles y puede diferir de otras nociones de dimensión en espacios patológicos.

Tensión semántica

Tensión con dimensiones métricas (Hausdorff, Minkowski): la dimensión de recubrimiento es puramente topológica y entera, mientras que las dimensiones métricas captan escala y pueden ser no enteras; ambas transmiten información geométrica distinta sobre un conjunto.

Síntesis

La dimensión de recubrimiento es el entero mínimo n que controla el solapamiento local de refinamientos abiertos: un invariante topológico que clasifica espacios según cuántas vecindades deben solaparse localmente, distinto de las nociones métricas o fractales.