La plus petite cardinalité d'un sous-ensemble dense d'un espace topologique ou métrique ; c'est un invariant cardinal qui indique à quel point un ensemble dense peut être petit.

Principe

Un sous-ensemble est dense si son adhérence est l'espace entier ; minimiser la cardinalité de tels ensembles fournit le caractère de densité, qui mesure dans quelle mesure l'espace est « approximable » par peu de points.

Démonstration

Exemples : les rationnels forment un sous-ensemble dense dénombrable de la droite réelle, donc le caractère de densité de R (avec la topologie usuelle) est ℵ0 ; un espace discret de cardinal κ a caractère de densité κ car aucun sous-ensemble strictement plus petit n'est dense.

Mauvaise application

Confondre caractère de densité et séparabilité (ils coïncident lorsque le caractère est dénombrable mais le terme est à valeur cardinale) ou mêler densité et poids ou dimension topologique ; supposer qu'une petite densité entraîne un petit poids est généralement faux.

Conséquence

Le caractère de densité détermine la séparabilité et influence des propriétés fonctionnelles et métriques (par ex. l'existence d'ensembles denses dénombrables permet d'approcher les points par des suites) ; il sert à borner d'autres invariants et à classer les espaces en analyse et topologie.

Inversion

Considérer les ensembles denses nuls (nowhere dense) ou la notion de maigreur souligne la propriété opposée : un espace ayant une grande structure de parties nowhere dense peut avoir un petit caractère de densité mais rester topologiquement « fin » sous d'autres aspects.

Limite

Défini pour les espaces topologiques ou métriques au moyen de l'adhérence ; il ne saisit pas la complexité locale interne comme le caractère en un point ou le poids de réseau et est insensible à la distribution des ensembles denses, seulement à leur cardinal minimal.

Tension sémantique

Le caractère de densité chevauche séparabilité, poids et invariants liés aux réseaux ; la tension consiste à utiliser la densité (mesure d'approximation par des points) versus les tailles de bases ou de sous-bases (mesures de la complexité des ouverts).

Synthèse

Le caractère de densité est le nombre minimal de points nécessaires pour constituer un sous-ensemble dense : un invariant cardinal mesurant avec quelle économie l'espace peut être approché par un ensemble dense, central pour la séparabilité et les arguments d'approximation.