La cardinalidad mínima de un subconjunto denso de un espacio topológico o métrico; es un invariante cardinal que indica cuán pequeño puede ser un conjunto denso.

Principio

Un subconjunto es denso si su clausura es el espacio entero; minimizar la cardinalidad de tales conjuntos da el carácter de densidad, que mide cuán 'aproximable' es el espacio por pocos puntos.

Demostración

Ejemplos: los números racionales son un subconjunto denso numerable de la recta real, por lo que el carácter de densidad de R (con la topología usual) es ℵ0; un espacio discreto de cardinal κ tiene carácter de densidad κ porque ningún subconjunto propio más pequeño es denso.

Aplicación incorrecta

Confundir carácter de densidad con separabilidad (coinciden cuando el carácter es numerable, pero el término es de valor cardinal) o mezclar densidad con peso o dimensión topológica; asumir que una densidad pequeña obliga a un peso pequeño es erróneo en general.

Consecuencia

El carácter de densidad determina la separabilidad e influye en propiedades funcionales y medidas (p. ej. la existencia de conjuntos densos numerables permite aproximar puntos por sucesiones); se usa para acotar otros invariantes y para clasificar espacios en análisis y topología.

Inversión

Considerar conjuntos de clausura vacía (nowhere dense) o nociones de rareza destaca la propiedad opuesta: un espacio con gran estructura de partes nowhere dense puede tener carácter de densidad pequeño pero seguir siendo topológicamente 'delgado' en otros sentidos.

Límite

Definido para espacios topológicos o métricos usando la clausura; no captura la complejidad local interna como el carácter en un punto o el peso de red y es insensible a cómo se distribuyen los conjuntos densos, solo a su cardinalidad mínima.

Tensión semántica

El carácter de densidad se solapa con separabilidad, peso e invariantes relacionados con redes; la tensión está en usar densidad (medida de aproximación por puntos) frente a tamaños de bases o subbases (medidas de la complejidad de los abiertos).

Síntesis

El carácter de densidad es el número mínimo de puntos necesarios para formar un subconjunto denso: un invariante cardinal que mide cuán económicamente puede aproximarse todo el espacio por un conjunto denso, central para la separabilidad y para argumentos de aproximación.