La cofinalité d'un ensemble ordonné ou d'un ordinal est le plus petit type d'ordre d'un sous-ensemble cofinal (non borné) ; pour un ordinal α, cf(α) est le plus petit ordinal β pour lequel il existe une suite strictement croissante de type β convergeant vers α.

Principe

Un sous-ensemble S d'un poset P est cofinal s'il existe pour tout élément de P un élément de S qui l'est au-dessus ; la cofinalité est le type d'ordre minimal d'un tel S. Pour un cardinal κ, cf(κ) mesure si κ est régulier (cf(κ)=κ) ou singulier (cf(κ)<κ), une distinction essentielle en arithmétique des cardinaux et en combinatoire.

Démonstration

cf(ω) = ω parce que les entiers naturels forment une suite cofinale dans ω ; cf(ω+1) = 1 puisque l'élément terminal unique est cofinal ; cf(ω_1) = ω_1 car aucun sous-ensemble dénombrable de ω_1 n'est non borné, donc le plus petit type d'ordre cofinal est ω_1 lui-même.

Mauvaise application

Confondre cofinalité et cardinalité ou ne pas vérifier la minimalité du type d'ordre conduit à l'erreur — par exemple affirmer cf(ω_1)=ω parce que l'on invoque des notions dénombrables confond cofinalité et cardinalité des sous-ensembles.

Conséquence

La cofinalité gouverne le comportement limite et éclaire des résultats structurels : les cardinaux réguliers ne se représentent pas comme unions de peu d'ensembles plus petits de même cardinalité, les principes de stationnarité et de réflexion dépendent des cofinalités, et des propriétés combinatoires de partition reposent sur les valeurs de cf.

Inversion

La notion duale est l'initialité ou coinitialité (plus petit type d'ordre d'un initial non borné vers le bas) ou considérer des segments initiaux bornés au lieu des queues non bornées ; inverser le point de vue fait passer l'attention de la façon dont un ensemble atteint son supremum à la façon dont il est engendré depuis le bas.

Limite

Définie pour les posets et les ordinaux ; les assertions sur cf demandent un contexte ordonné et ne se traduisent pas de manière significative aux collections non ordonnées. Pour les ordinaux cf est lui-même un ordinal ; pour les posets dirigés généraux on considère un cofinal minimal en cardinal ou en type d'ordre, et certains posets peuvent manquer de petits sous-ensembles cofinaux.

Tension sémantique

La cofinalité rivalise souvent avec des compréhensions naïves de « taille » et de « limite » : c'est un invariant d'ordre (type d'ordre des suites non bornées) plutôt qu'un simple compte cardinal, de sorte qu'il faut éviter de réduire des énoncés sur la cofinalité à des énoncés de cardinalité sans précaution.

Synthèse

La cofinalité décrit comment un ensemble ordonné est approché depuis le bas par des sous-ensembles non bornés de type minimal : on calcule ou compare cf en trouvant les plus petits types d'ordre de suites cofinales, on utilise cf pour classer ordinaux et cardinaux en réguliers ou singuliers et pour gouverner des phénomènes combinatoires et limites.