La cofinalidad de un conjunto ordenado o de un ordinal es el menor tipo de orden de un subconjunto cofinal (no acotado); para un ordinal α, cf(α) es el mínimo ordinal β para el cual existe una sucesión estrictamente creciente de tipo β que tiene límite α.

Principio

Un subconjunto S de un poset P es cofinal si todo elemento de P es ≤ que algún elemento de S; la cofinalidad es el tipo de orden mínimo de tal S. Para cardinales κ, cf(κ) mide si κ es regular (cf(κ)=κ) o singular (cf(κ)<κ), distinción central en la aritmética de cardinales y la combinatoria.

Demostración

cf(ω) = ω porque los naturales forman una sucesión cofinal en ω; cf(ω+1) = 1 ya que el único elemento superior es cofinal; cf(ω_1) = ω_1 porque ningún subconjunto numerable de ω_1 es no acotado, por lo que el menor tipo de orden cofinal es ω_1 mismo.

Aplicación incorrecta

Confundir cofinalidad con cardinalidad o no verificar la minimalidad del tipo de orden conduce a errores — por ejemplo afirmar cf(ω_1)=ω porque se usan nociones de contabilidad mezcla cofinalidad con cardinalidad de subconjuntos.

Consecuencia

La cofinalidad gobierna el comportamiento límite e informa resultados estructurales: los cardinales regulares no se expresan como unión de pocos conjuntos más pequeños de la misma cardinalidad, los principios de estacionariedad y reflexión dependen de cofinalidades, y propiedades combinatorias de partición descansan en valores de cf.

Inversión

La noción dual es la inicialidad o coinitialidad (el menor tipo de orden de un subconjunto inicial no acotado hacia abajo) o considerar segmentos iniciales acotados en lugar de colas no acotadas; invertir el enfoque desplaza la atención de cómo un conjunto alcanza su supremo a cómo se genera desde abajo.

Límite

Definida para posets y ordinales; las afirmaciones sobre cf requieren contexto ordenado y no se traducen de forma significativa a colecciones no ordenadas. Para ordinales cf es a su vez un ordinal; para posets dirigidos generales se usa el cardinal o tipo de orden cofínal mínimo, y algunos posets pueden carecer de subconjuntos cofinales pequeños.

Tensión semántica

La cofinalidad frecuentemente compite con intuiciones sobre 'tamaño' y 'límite': es un invariante ordenístico (tipo de orden de sucesiones no acotadas) más que un simple recuento cardinal, de modo que no se deben reducir afirmaciones sobre cofinalidad a afirmaciones de cardinalidad sin cuidado.

Síntesis

La cofinalidad captura cómo un conjunto ordenado se aproxima desde abajo por subconjuntos no acotados de tipo mínimo: calcula o compara cf encontrando los tipos de orden más pequeños de sucesiones cofinales, emplea cf para clasificar ordinales y cardinales en regulares o singulares y para gobernar fenómenos combinatorios y límite.