Un raffinement d'une théorie du premier ordre T produisant une théorie T* (lorsqu'elle existe) dont les modèles sont exactement les modèles existentialement clos de T ; T* est model-complete si tout plongement entre modèles de T* est élémentaire, équivalemment toute formule est équivalente à une formule existentielle dans T*.

Principe

Identifier une classe de modèles existentialement clos dans les modèles de T et axiomatisez leur théorie T* de sorte que pour tous modèles M ⊆ N de T* l'inclusion soit élémentaire ; la complétion du modèle, lorsqu'elle existe, entraîne une élimination des quantificateurs au moins jusqu'aux formules existentielles et de fortes propriétés de transfert pour les plongements.

Démonstration

La théorie des corps algébriquement clos est la complétion du modèle de la théorie des corps : tout corps s'embedde dans un corps algébriquement clos existentialement clos pour les équations polynomiales, et les corps algébriquement clos rendent les plongements élémentaires, d'où la model-complétude.

Mauvaise application

Supposer qu'une complétion du modèle existe pour une théorie quelconque sans la construire ni prouver son unicité peut induire en erreur — de nombreuses théories n'ont pas de complétion du modèle, et forcer un candidat sans vérifier l'closure existentielle ou l'élémentarité produit des affirmations erronées.

Conséquence

Lorsqu'une complétion du modèle existe, on obtient un contrôle modèle-théorique uniforme : réduction des quantificateurs, forte homogénéité des modèles, décidabilité et transfert de propriétés via les plongements, ainsi qu'une description canonique des structures existentialement génériques au sein de la théorie initiale.

Inversion

La perspective opposée consiste à prendre un compagnon de modèle ou une extension conservative : plutôt que de compléter T vers ses modèles existentialement clos, on peut restreindre l'attention à des sous-classes non existentialement closes particulières ou étudier des extensions conservatives qui préservent plus de syntaxe mais manquent de model-completeness.

Limite

S'applique aux théories du premier ordre et concerne leur enveloppe modèle-théorique de modèles existentialement clos ; elle exclut les logiques non du premier ordre sauf reformulation, et toutes les théories n'admettent pas une complétion du modèle ou un compagnon de modèle.

Tension sémantique

La complétion du modèle peut être confondue avec l'élimination des quantificateurs, le compagnon de modèle ou la clôture algébrique ; la tension vient du fait que la model-completeness est une propriété sémantique sur les plongements et l'closure existentielle alors que l'élimination des quantificateurs est une condition syntaxique, plus forte et facultative.

Synthèse

La complétion du modèle caractérise la théorie maximale de T dont les modèles sont existentialement clos : si T* existe, elle rend les plongements élémentaires et simplifie la structure de la théorie en se concentrant sur les solutions existentielles génériques, fournissant des simplifications de quantificateurs et des modèles canoniques.