Un refinamiento de una teoría de primer orden T que produce una teoría T* (cuando existe) cuyos modelos son exactamente los modelos existencialmente cerrados de T; T* es model-complete si todo inmersión entre modelos de T* es elemental, equivalentesmente toda fórmula es equivalente a una fórmula existencial en T*.

Principio

Identificar una clase de modelos existencialmente cerrados dentro de los modelos de T y axiomatizar su teoría T* de modo que para modelos M ⊆ N de T* la inclusión sea elemental; la completación del modelo, cuando existe, conduce a la reducción de cuantificadores al menos hasta fórmulas existenciales y a fuertes propiedades de transferencia para inmersiones.

Demostración

La teoría de cuerpos algebraicamente cerrados es la completación del modelo de la teoría de cuerpos: todo cuerpo se embebe en un cuerpo algebraicamente cerrado que es existencialmente cerrado respecto a ecuaciones polinómicas, y los cuerpos algebraicamente cerrados hacen que las inmersiones sean elementales, dando completación del modelo.

Aplicación incorrecta

Asumir la existencia de una completación del modelo para una teoría cualquiera sin construirla o probar su unicidad puede inducir a error — muchas teorías no admiten completación del modelo, y proponer un candidato sin verificar el cierre existencial o la elementalidad produce afirmaciones model-teóricas falsas.

Consecuencia

Cuando existe una completación del modelo, se obtiene control model-teórico uniforme: reducción de cuantificadores, fuerte homogeneidad de modelos, decidibilidad y transferencia de propiedades mediante inmersiones, y una descripción canónica de estructuras existencialmente genéricas dentro de la teoría original.

Inversión

La perspectiva inversa es considerar un compañero de modelo o una extensión conservadora: en lugar de completar T hacia sus modelos existencialmente cerrados, puede restringirse la atención a subclases no existencialmente cerradas o estudiar extensiones conservadoras que preservan más sintaxis pero carecen de model-completeness.

Límite

Se aplica a teorías de primer orden y concierne su envolvente model-teórica de modelos existencialmente cerrados; excluye lógicas no de primer orden salvo reformulación, y no toda teoría admite completación del modelo o compañero de modelo.

Tensión semántica

La completación del modelo puede confundirse con eliminación de cuantificadores, compañero de modelo o cierre algebraico; la tensión está en que model-completeness es una propiedad semántica sobre inmersiones y cierre existencial, mientras que la eliminación de cuantificadores es una condición sintáctica más fuerte que puede o no darse.

Síntesis

La completación del modelo caracteriza la teoría máxima de T cuyos modelos son existencialmente cerrados: si T* existe, hace que las inmersiones sean elementales y simplifica la estructura teórica al centrarse en soluciones existenciales genéricas, produciendo simplificación de cuantificadores y modelos canónicos.