Un ensemble X muni d'une fonction distance d : X×X → [0,∞) telle que pour tous x,y,z dans X : d(x,y)=0 si et seulement si x=y (identité des indiscernables), d(x,y)=d(y,x) (symétrie) et d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z) (inégalité triangulaire).

Principe

La distance se comporte comme une longueur réelle non négative qui distingue les points, est symétrique et se compose de façon sous-additive afin que les distances locales contrôlent la séparation globale.

Démonstration

La droite réelle R avec d(x,y)=|x−y| est un espace métrique : des points distincts ont une distance positive, la symétrie provient de la valeur absolue et l'inégalité triangulaire est |x−z| ≤ |x−y|+|y−z|.

Mauvaise application

Prendre toute fonction non négative pour une métrique sans vérifier l'inégalité triangulaire ou l'identité — par exemple la fonction d(x,y)=|x|+|y| ne vérifie pas l'identité — ce qui conduit à des conclusions topologiques erronées.

Conséquence

Si les axiomes sont satisfaits, la métrique induit une topologie, les notions de convergence et de continuité sont bien définies et des constructions comme les suites de Cauchy et les complétions sont disponibles.

Inversion

Si l'identité des indiscernables est abandonnée on obtient une pseudométrique ; si l'inégalité triangulaire est renforcée en d(x,z) ≤ max{d(x,y),d(y,z)} on obtient une ultramétrique avec une géométrie très différente (par ex. forte hiérarchisation).

Limite

Exclut les structures apparentées qui n'ont pas l'un des trois axiomes (pseudométriques, quasi-métriques sans symétrie, semi-métriques) et n'exige pas de structure algébrique comme un espace vectoriel sauf indication contraire.

Tension sémantique

Conflit avec l'usage courant de « métrique » comme mesure ou indicateur : en mathématiques, il s'agit d'une fonction satisfaisant des axiomes précis et non d'une mesure informelle.

Synthèse

L'espace métrique (X,d) formalise la notion de distance par une fonction vérifiant identité, symétrie et inégalité triangulaire, fournissant une topologie et des outils analytiques pour la proximité, les limites et la complétude.