Eine Menge X zusammen mit einer Distanzfunktion d: X×X → [0,∞), so dass für alle x,y,z in X gilt: d(x,y)=0 genau dann, wenn x=y (Identität der Ununterscheidbaren), d(x,y)=d(y,x) (Symmetrie) und d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z) (Dreiecksungleichung).

Prinzip

Abstände verhalten sich wie nichtnegative reelle Längen, unterscheiden Punkte, sind symmetrisch und additiv so, dass lokale Abstände die globale Trennung steuern.

Demonstration

Die reelle Gerade R mit d(x,y)=|x−y| ist ein metrischer Raum: verschiedene Punkte haben positive Distanz, Symmetrie folgt aus dem Betrag und die Dreiecksungleichung ist |x−z| ≤ |x−y|+|y−z|.

Fehlanwendung

Beliebige nichtnegative Funktion als Metrik zu verwenden, ohne Dreiecksungleichung oder Identitätsbedingung zu prüfen — etwa d(x,y)=|x|+|y| erfüllt die Identität nicht — führt zu falschen topologischen Schlüssen.

Konsequenz

Erfüllen die Axiome, so induziert die Metrik eine Topologie, Konvergenz und Stetigkeit sind definiert, und Begriffe wie Cauchy-Folgen und Komplettierung stehen zur Verfügung.

Umkehrung

Wird die Identitätsbedingung fallengelassen, entsteht eine Pseudometrik; wird die Dreiecksungleichung zu d(x,z) ≤ max{d(x,y),d(y,z)} verschärft, erhält man eine Ultrametrik mit abweichender Geometrie (z. B. starke Clusterbildung).

Abgrenzung

Schließt verallgemeinerte distanzähnliche Strukturen aus, die eines der drei Axiome nicht erfüllen (Pseudometriken, Quasi-Metriken ohne Symmetrie, Semimetriken) und erfordert keine zusätzliche algebraische Struktur wie einen Vektorraum, sofern nicht angegeben.

Semantische Spannung

Widerspruch zur allgemeinen Verwendung von »Metrik« als Bewertungsmaß: in der Mathematik ist es eine eindeutig definierte Funktion mit Axiomen und darf nicht mit anderen Bedeutungen verwechselt werden.

Synthese

Ein metrischer Raum (X,d) ist eine Menge mit einer Abstandsabbildung, die Identität, Symmetrie und Dreiecksungleichung erfüllt und so eine topologische und analytische Struktur für Nähe, Grenzwerte und Vollständigkeit liefert.