Un domaine intègre dans lequel tout idéal est principal, c'est-à-dire engendré par un seul élément ; abrégé couramment PID.

Principe

Lorsque tous les idéaux sont engendrés par un seul élément, les questions sur les idéaux se réduisent à l'arithmétique des éléments, ce qui simplifie la classification, le calcul des pgcd et la structure des modules sur l'anneau.

Démonstration

L'anneau Z des entiers est un PID car tout idéal nZ est engendré par l'entier n ; l'anneau des polynômes k[x] sur un corps k est aussi un PID puisque tout idéal est engendré par un unique polynôme.

Mauvaise application

Prétendre qu'un anneau noethérien ou un UFD est automatiquement un PID : bien que tout PID soit un UFD et noethérien, les réciproques sont fausses en général (il existe des anneaux noethériens ou UFD avec idéaux non principaux).

Conséquence

Dans un PID, la théorie de la factorisation est maniable : les idéaux correspondent à des diviseurs principaux, les sous-modules de modules libres sont libres, et la classification des modules de type fini est plus simple (par ex. théorème de structure pour modules sur un PID).

Inversion

Un domaine contenant des idéaux non principaux manque des simplifications ; l'inversion de la propriété PID mène à des domaines de Dedekind ou des domaines noethériens généraux où le groupe des classes d'idéaux mesure l'échec de la principalité.

Limite

Le concept de PID est limité aux domaines intègres ; il exclut les anneaux à diviseurs de zéro et de nombreux anneaux noethériens ; la principalité est une condition globale qui peut échouer même si la plupart des localisés sont principaux.

Tension sémantique

Le mot 'principal' suggère l'engendrement par un seul élément, mais en théorie des modules 'idéal principal' se confronte à l'expression 'anneau à idéaux principaux' dans des contextes non intègres ; UFD et PID sont liés mais distincts.

Synthèse

Un PID est un domaine intègre où la théorie des idéaux se ramène à l'engendrement par éléments : tout idéal est de la forme (a), offrant un contrôle fort sur la divisibilité, les modules et les résultats de classification.