Definición
Un dominio íntegro en el que todo ideal es principal, es decir, puede ser generado por un solo elemento; abreviado comúnmente PID.
Principio
Principio
Cuando todos los ideales son generados por un único elemento, las cuestiones ideal-teóricas se reducen a la aritmética de elementos, simplificando la clasificación, el cálculo de mcd y la estructura de módulos sobre el anillo.
Demostración
Demostración
El anillo Z de los enteros es un PID porque todo ideal nZ está generado por un entero n; el anillo de polinomios k[x] sobre un cuerpo k también es un PID ya que cada ideal es generado por un polinomio.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Asumir que un anillo noetheriano o un UFD es automáticamente un PID: aunque todo PID es UFD y noetheriano, las recíprocas fallan en general (existen anillos con ideales no principales).
Consecuencia
Consecuencia
En un PID la teoría de la factorización es manejable: los ideales corresponden a divisores principales, los submódulos de módulos libres son libres, y la clasificación de módulos de tipo finito es más sencilla (por ejemplo, el teorema de estructura para módulos sobre un PID).
Inversión
Inversión
Un dominio con ideales no principales carece de esas simplificaciones; invertir la propiedad PID conduce a dominios de Dedekind o dominios noetherianos generales donde el grupo de clases de ideales mide el fallo de principialidad.
Límite
Límite
PID está restringido a dominios íntegros; excluye anillos con divisores de cero y muchos dominios noetherianos; la principialidad es una condición global que puede fallar incluso si la mayoría de las localizaciones son principales.
Tensión semántica
Tensión semántica
El término 'principal' sugiere generación por un único elemento, pero en contextos de módulos 'ideal principal' compite con 'anillo de ideales principales' en situaciones no íntegros; UFD y PID están relacionados pero son nociones distintas.
Síntesis
Síntesis
Un PID es un dominio íntegro donde la teoría de ideales se reduce a la generación por elementos: todo ideal es de la forma (a), proporcionando un control fuerte sobre divisibilidad, módulos y resultados de clasificación.