Une relation entre prédicats, concepts ou théories telle que chacun peut être défini à l'intérieur de l'autre au moyen de formules d'un langage ambiant fixé, de sorte que, pour tout objet ou structure, le concept tient exactement lorsque sa définition en termes de l'autre tient.

Principe

Si A et B sont interdéfinissables, il existent des formules φ(x, p) et ψ(x, q) utilisant les primitifs du langage ambiant telles que φ définit A à partir de B et ψ définit B à partir de A ; la relation est symétrique et traduit l'exprimabilité mutuelle plutôt que la simple implication.

Démonstration

En arithmétique du premier ordre, la relation d'ordre < sur les entiers naturels est interdéfinissable avec la fonction successeur S lorsque le langage contient déjà zéro et l'addition : on peut donner une formule utilisant S qui exprime <, et inversement décrire S en termes de < et des axiomes arithmétiques dans certaines extensions.

Mauvaise application

Considérer que l'interdéfinissabilité exige des formules syntaxiques identiques au lieu d'une définissabilité mutuelle dans le langage ambiant, ou supposer qu'elle implique une équivalence calculatoire sans vérifier les contraintes de définissabilité.

Conséquence

Acceptée, l'interdéfinissabilité permet de remplacer un vocabulaire par l'autre dans les preuves et définitions, transférant les théorèmes et autorisant des extensions conservatives ou des traductions entre théories tout en préservant les modèles visés.

Inversion

En inversant l'interdéfinissabilité vers une simple définissabilité (A définissable à partir de B mais pas réciproquement), la symétrie et la possibilité d'échanger les vocabulaires s'effondrent et l'on obtient une relation d'expressivité strictement plus faible.

Limite

S'applique uniquement relativement à un langage ambiant et à une classe de formules spécifiée ; exclut les cas où les définitions exigent de nouveaux symboles non logiques, des hypothèses d'existence non constructives ou des ressources extérieures au cadre syntaxique/sémantique autorisé.

Tension sémantique

L'interdéfinissabilité est en tension avec la bi-interprétabilité et l'extension conservative : la bi-interprétabilité demande des traductions préservant la structure entre théories, tandis qu'une extension conservative exige seulement qu'une théorie n'ajoute pas de nouveaux théorèmes dans l'ancien langage ; les notions sont liées mais distinctes.

Synthèse

L'interdéfinissabilité est la notion symétrique, relative au langage, selon laquelle deux concepts ou théories peuvent chacun être exactement exprimés en termes de l'autre par des formules autorisées, permettant l'échange de vocabulaire tout en respectant les contraintes syntaxiques et sémantiques choisies.