Una relación entre predicados, conceptos o teorías en la que cada uno puede definirse dentro del otro mediante fórmulas de un lenguaje circundante fijo, de modo que para cualquier objeto o estructura el concepto se cumple exactamente cuando su definición en términos del otro se cumple.

Principio

Si A y B son interdefinibles, existen fórmulas φ(x, p) y ψ(x, q) usando los primitivos del lenguaje ambiente tales que φ define A a partir de B y ψ define B a partir de A; la relación es simétrica y capta la expresabilidad mutua en lugar de una mera implicación.

Demostración

En aritmética de primer orden, la relación de orden < en los números naturales puede ser interdefinible con la función sucesor S cuando el lenguaje ya contiene cero y la suma: puede darse una fórmula que usa S para expresar <, y recíprocamente describir S en términos de < y axiomas aritméticos en ciertas extensiones.

Aplicación incorrecta

Tratar la interdefinibilidad como si requiriera fórmulas sintácticas idénticas en lugar de definibilidad mutua dentro del lenguaje circundante, o asumir que implica equivalencia computacional sin verificar las restricciones de definibilidad.

Consecuencia

Aceptada, la interdefinibilidad permite sustituir un vocabulario por otro en demostraciones y definiciones, transfiriendo teoremas y posibilitando extensiones conservadoras o traducciones entre teorías mientras se preservan los modelos pretendidos.

Inversión

Si se invierte la interdefinibilidad a definibilidad unilateral (A definible a partir de B pero no viceversa), la simetría y la capacidad de sustituir vocabularios se pierden y se obtiene una relación de expresividad estrictamente más débil.

Límite

Se aplica solo con respecto a un lenguaje circundante especificado y a una clase de fórmulas; excluye casos en que las definiciones requieran nuevos símbolos no lógicos, supuestos de existencia no constructivos o recursos fuera del marco sintáctico/semántico permitido.

Tensión semántica

La interdefinibilidad compite con la bi-interpretabilidad y la extensión conservadora: la bi-interpretabilidad exige traducciones que preserven estructura entre teorías, mientras que una extensión conservadora pide solo que una teoría no añada nuevos teoremas en el lenguaje antiguo; las nociones están relacionadas pero son distintas.

Síntesis

La interdefinibilidad es la noción simétrica, relativa al lenguaje, de que dos conceptos o teorías pueden ser expresados exactamente el uno en términos del otro mediante las fórmulas permitidas, habilitando un intercambio de vocabulario que respeta las restricciones sintácticas y semánticas fijadas.