Une application entre deux structures (dans la même signature) qui préserve les interprétations des symboles de fonction et envoie des tuples satisfaisant une relation dans le domaine vers des tuples satisfaisant la relation correspondante dans le codomaine. Pour les constantes, elle transporte les éléments distingués sur les éléments distingués. Les homomorphismes traduisent des connexions préservant la structure sans exiger bijectivité ni réflexion de tous les faits atomiques.

Principe

La préservation des opérations au niveau de la signature et des faits relationnels positifs est le principe organisateur : un homomorphisme respecte les constantes, commute avec les symboles de fonction et préserve les relations (si une relation vaut pour un tuple alors elle vaut pour le tuple image), fournissant un morphisme dans la catégorie des structures pour la signature donnée.

Démonstration

Exemples : homomorphismes de groupes (applications qui commutent avec l'opération de groupe et envoient l'identité sur l'identité), homomorphismes d'anneaux, et homomorphismes de graphes (applications de sommets envoyant arêtes sur arêtes). Dans les langages relationnels sans symboles de fonction, un homomorphisme est simplement une application préservant les relations dans le sens direct.

Mauvaise application

Confondre un homomorphisme avec un plongement ou un isomorphisme (c.-à-d. supposer injectivité ou surjectivité), ou attendre que les homomorphismes réfléchissent les relations (supposer que si une relation vaut pour l'image, elle valait pour le préimage). Traiter des applications qui ne respectent pas la signature comme des homomorphismes est également incorrect.

Conséquence

Les homomorphismes structurent les catégories de structures, permettent des analyses factorisation/ noyau-image (lorsqu'une structure algébrique le permet) et facilitent le transfert d'information positive entre modèles. Ils sont fondamentaux pour construire des quotients, des limites directes et des limites et colimites catégoriques.

Inversion

Anti-homomorphisme ou échec de réflexion : inverser la préservation conduit à des applications qui ne préservent pas les opérations ni les relations ; la notion complémentaire est le plongement ou l'isomorphisme qui renforce un homomorphisme en ajoutant injectivité et propriétés de réflexion.

Limite

Dépend de la signature : pour les symboles de fonctions, les homomorphismes doivent commuter avec les fonctions ; pour les relations, les homomorphismes conventionnels préservent mais ne réfléchissent pas nécessairement les faits relationnels. Le terme exclut les applications d'ensembles arbitraires qui ne respectent pas la signature et exclut les applications qui modifient l'interprétation des constantes sauf si cela est explicitement pris en compte.

Tension sémantique

Homomorphisme versus plongement/isomorphisme : les homomorphismes sont plus larges, autorisent une perte d'information et la non-injectivité, tandis que les plongements et isomorphismes sont plus stricts et exigent injectivité ou bijectivité et réflexion ; choisir la bonne notion est crucial dans les preuves et arguments catégoriques.

Synthèse

Un homomorphisme de structures est le morphisme respectant la signature entre modèles : en commutant avec les fonctions, en envoyant les constantes distinguées sur les constantes distinguées et en préservant à l'avant les vérités relationnelles, il formalise la manière dont les structures se mappent les unes dans les autres en algèbre et en théorie des modèles.