Una aplicación entre dos estructuras (en la misma firma) que preserva las interpretaciones de símbolos de función y envía tuplas que satisfacen una relación en el dominio a tuplas que satisfacen la relación correspondiente en el codominio. Para constantes transporta elementos designados a elementos designados. Los homomorfismos capturan conexiones formales que preservan la estructura sin exigir biyectividad ni reflexión de todos los hechos atómicos.

Principio

Preservación de operaciones a nivel de firma y de hechos relacionales positivos es el principio organizador: un homomorfismo respeta constantes, conmuta con los símbolos de función y preserva relaciones (si una relación vale para una tupla entonces vale para la tupla imagen), proporcionando un morfismo en la categoría de estructuras de la firma.

Demostración

Ejemplos incluyen homomorfismos de grupos (aplicaciones que conmutan con la operación del grupo y envían la identidad a la identidad), homomorfismos de anillos y homomorfismos de grafos (aplicaciones de vértices que envían aristas a aristas). En lenguajes relacionales sin símbolos de función, un homomorfismo es simplemente una aplicación que preserva relaciones en dirección directa.

Aplicación incorrecta

Confundir un homomorfismo con un embedding o un isomorfismo (es decir, asumir inyectividad o sobreyectividad), o esperar que los homomorfismos reflejen relaciones (asumir que si una relación vale para la imagen, valía para el preimagen). Tratar mapas que no respetan la firma como homomorfismos también es incorrecto.

Consecuencia

Los homomorfismos organizan categorías de estructuras, permiten factorización y análisis núcleo-imagen (cuando existe estructura algebraica adecuada), y posibilitan la transferencia de información positiva entre modelos. Son fundamentales en la construcción de cocientes, límites directos y límites y colímites categóricos.

Inversión

Antihomomorfismo o fallo de reflexión: invertir la preservación conduce a mapas que no preservan operaciones ni relaciones; la noción complementaria es un embedding o isomorfismo que fortalece un homomorfismo añadiendo inyectividad y propiedades de reflexión.

Límite

Depende de la firma: para símbolos de función, los homomorfismos deben conmutar con las funciones; para las relaciones, los homomorfismos convencionales preservan pero no necesariamente reflejan hechos relacionales. El término excluye mapas arbitrarios de conjuntos que no respeten la firma y excluye mapas que alteren la interpretación de constantes salvo que se haga explícito.

Tensión semántica

Homomorfismo versus Embedding/Isomorfismo: los homomorfismos son más amplios, permiten pérdida de información y no inyectividad, mientras que embeddings e isomorfismos son más estrictos y requieren inyectividad o biyectividad y reflexión; elegir la noción correcta es crucial en pruebas y argumentos categóricos.

Síntesis

Un homomorfismo de estructuras es el morfismo que respeta la firma entre modelos: al conmutar con funciones, enviar constantes designadas a constantes designadas y preservar hacia adelante verdades relacionales, formaliza cómo las estructuras se mapean unas en otras en contextos algebraicos y modelísticos.