L'opération ou la relation d'ajouter de nouveaux symboles (constantes, fonctions, relations) et de préciser leurs interprétations dans une structure ou une théorie, produisant un langage plus riche et éventuellement de nouvelles informations sur le même domaine sous-jacent. Une expansion peut être définitoire (déterminée par la structure ancienne) ou véritable (introduisant des choix indépendants).

Principe

L'augmentation du vocabulaire gouverne l'expansion : étendre la signature tout en conservant le domaine original et les symboles précédemment interprétés inchangés, de sorte que chaque expansion correspond à un choix d'interprétation pour les symboles ajoutés compatible avec les contraintes éventuelles.

Démonstration

À partir d'un corps (F,+,·,0,1), on peut l'étendre au langage muni d'un ordre en ajoutant un symbole de relation binaire < et en l'interprétant comme un ordre sur F ; ou encore étendre un graphe en nommant un sommet particulier par une nouvelle constante. Les expansions définitoires ont lieu lorsque le nouveau symbole est donné par une formule explicite dans l'ancien langage.

Mauvaise application

Supposer qu'une expansion est unique ou canonique lorsqu'aucune axiome définitoire n'est fourni, ou confondre que l'expansion peut introduire de nouveaux éléments — les expansions n'ajoutent que du vocabulaire et des interprétations, pas de nouveaux points du domaine sauf si l'on étend aussi l'univers.

Conséquence

Les expansions augmentent les ressources expressives : elles peuvent rendre définissables des propriétés auparavant indéfinissables, rompre des automorphismes et produire des distinctions sémantiques plus fines. En théorie des modèles, les expansions correspondent à un enrichissement de la signature et peuvent modifier des propriétés de classification.

Inversion

Réduction : le point de vue inverse consiste à oublier les symboles ajoutés. Si chaque expansion admet une réduction (la structure sous le langage plus petit), toutes les réductions n'ont pas une expansion unique vers la structure enrichie d'origine.

Limite

S'applique à l'ajout de structure au niveau des symboles tout en préservant l'ensemble et les interprétations originales ; elle exclut l'adjonction de nouveaux éléments du domaine, les constructions de quotient ou la réinterprétation sémantique des anciens symboles. Il faut distinguer expansion définitoire (ajout conservatif) et expansion non définitoire (choix effectif).

Tension sémantique

Expansion versus extension conservative : une expansion peut être conservative (ajout de symboles définissables dans l'ancien langage) ou non conservative (introduisant une nouvelle expressivité) ; la confusion survient quand on confond «ajouter une notation» et «ajouter du pouvoir expressif».

Synthèse

Une expansion est l'enrichissement contrôlé du langage d'une structure : en ajoutant des symboles et en leur donnant des interprétations (définitoires ou indépendantes), on obtient une présentation plus riche du même domaine sous-jacent qui affine ce qu'on peut exprimer à son sujet.