Die Operation oder Relation, neue Symbole (Konstanten, Funktionen, Relationen) hinzuzufügen und ihre Interpretationen in einer Struktur oder Theorie festzulegen, wodurch eine reichere Sprache und möglicherweise neue Informationen über dieselbe zugrundeliegende Menge entstehen. Eine Expansion kann definitorisch (durch die alte Struktur bestimmt) oder echt (mit unabhängigen Wahlmöglichkeiten) sein.

Prinzip

Die Vergrößerung des Vokabulars bestimmt die Expansion: Die Signatur wird erweitert, wobei die ursprüngliche Trägermenge und die bereits interpretierten Symbole unverändert bleiben; jede Expansion entspricht damit einer Wahl von Interpretationen für die hinzugefügten Symbole, die mit gegebenen Nebenbedingungen verträglich ist.

Demonstration

Aus einem Körper (F,+,·,0,1) kann man durch Hinzufügen eines binären Relationssymbols < und dessen Interpretation als Ordnung auf F zu einer Sprache mit Ordnung expandieren; oder man erweitert einen Graphen, indem man einen bestimmten Knoten durch ein neues Konstantensymbol benennt. Definitorische Expansionen treten auf, wenn das neue Symbol durch eine explizite Formel in der alten Sprache festgelegt ist.

Fehlanwendung

Die Annahme, eine Expansion sei eindeutig oder kanonisch, wenn keine definitorischen Axiome gegeben sind, oder die Verwechslung, dass eine Expansion neue Elemente einführen könne — Expansionen fügen nur Vokabular und Interpretationen hinzu, nicht neue Elemente der Trägermenge, sofern nicht zusätzlich das Universum erweitert wird.

Konsequenz

Expansionen erhöhen die Ausdrucksmöglichkeiten: Sie können zuvor undefinierbare Eigenschaften definierbar machen, Automorphismen zerstören und feinere semantische Unterscheidungen ermöglichen. Modelltheoretisch entsprechen Expansionen einer Bereicherung der Signatur und können Klassifikationseigenschaften verändern.

Umkehrung

Redukt: Die inverse Sicht besteht darin, die hinzugefügten Symbole zu vergessen. Während jede Expansion einen Redukt (die Struktur in der kleineren Sprache) besitzt, hat nicht jeder Redukt eine eindeutige Expansion zurück zur ursprünglichen erweiterten Struktur.

Abgrenzung

Gilt für das Hinzufügen von Symbolstruktur bei Erhalt der zugrundeliegenden Menge und der ursprünglichen Interpretationen; schließt das Hinzufügen neuer Elemente, Quotientenbildungen oder die semantische Umdeutung alter Symbole aus. Man unterscheidet definitorische Expansion (konservative Hinzufügung) von nicht-definitorischer (echter) Expansion.

Semantische Spannung

Expansion versus konservative Erweiterung: Eine Expansion kann konservativ sein (Symbole definierbar in der alten Sprache) oder nicht-konservativ (neue Ausdruckskraft einführend); Verwechslungen entstehen, wenn ‚Notation hinzufügen‘ mit ‚Ausdrucksstärke erweitern‘ gleichgesetzt wird.

Synthese

Eine Expansion ist die kontrollierte Anreicherung der Sprache einer Struktur: Durch Hinzufügen von Symbolen und Festlegen ihrer Interpretationen (entweder definitorisch oder unabhängig) erhält man eine reichere Darstellung derselben zugrundeliegenden Menge, die feiner beschreibt, was über sie gesagt werden kann.