Une structure obtenue à partir d'une structure donnée en omettant certains symboles de son langage tout en conservant le même domaine sous-jacent et les interprétations des symboles restants. La réduction est le résultat canonique de l'opération de «oublier» du vocabulaire sans modifier la façon dont les symboles conservés sont interprétés sur le même ensemble.

Principe

La règle organisatrice est d'oublier des symboles : supprimer des symboles produit une nouvelle structure dont l'ensemble sous-jacent et les interprétations des symboles restants sont identiques à ceux de l'original, et il existe une projection canonique des structures enrichies vers leurs réductions.

Démonstration

Étant donnée une structure A dans le langage L′ = L ∪ {R}, la L-réduction de A est la structure ayant le même domaine que A et chaque symbole de L interprété exactement comme dans A, mais avec R ignoré. Concrètement, le corps ordonné (R,+,·,0,1,<) admet pour réduction au langage des corps le corps (R,+,·,0,1) obtenu en oubliant la relation d'ordre.

Mauvaise application

Considérer une réduction comme si elle ajoutait de l'information (par exemple supposer que la réduction peut distinguer des éléments qui ne différaient que par les symboles oubliés) ou confondre la prise d'une réduction avec la formation d'une sous-structure ou d'un quotient ; une réduction ne change pas le domaine ni ne fusionne des éléments, elle supprime seulement du vocabulaire.

Conséquence

Les réductions définissent un foncteur d'oubli des structures du langage enrichi vers le langage plus petit ; elles préservent toutes les vérités exprimables dans le langage réduit et fournissent des comparaisons canoniques entre présentations enrichies et réduites d'un même ensemble sous-jacent.

Inversion

Expansion : le processus inverse consiste à ajouter de nouveaux symboles et à préciser leurs interprétations (éventuellement de multiples manières non uniques) ; une expansion d'une réduction peut être non unique et peut restaurer l'information perdue par l'oubli.

Limite

S'applique uniquement à la suppression de symboles et de leurs interprétations tout en conservant le même ensemble sous-jacent ; elle n'inclut pas la formation de sous-structures, de quotients ou de réductions qui modifient les éléments du domaine. Elle exclut l'ajout d'abréviations définitoires qui transporteraient implicitement de nouvelles relations sauf si elles figurent explicitement dans la signature réduite.

Tension sémantique

Réduction versus sous-structure : la réduction supprime du vocabulaire mais conserve le même domaine, tandis qu'une sous-structure conserve le langage mais restreint le domaine ; les deux réduisent la complexité de manières orthogonales, ce qui peut entraîner des confusions sur la containment et la préservation.

Synthèse

La réduction est l'image canonique d'oubli d'une structure par suppression de vocabulaire : elle formalise l'idée d'observer une structure à travers un langage plus petit, en préservant les interprétations restantes et en abandonnant le reste.