Eine Struktur, die aus einer gegebenen Struktur entsteht, indem einige Symbole der Sprache weggelassen werden, während die zugrundeliegende Menge und die Interpretationen der verbleibenden Symbole unverändert bleiben. Der Redukt ist das kanonische Ergebnis der ‚Vergessens‘-Operation, die Vokabular entfernt, ohne die Interpretation der verbleibenden Zeichen auf derselben Menge zu ändern.

Prinzip

Das ordnende Prinzip ist das Vergessen von Symbolen: Durch Entfernen von Symbolen entsteht eine neue Struktur, deren Trägermenge und Interpretationen der verbleibenden Symbole identisch zur ursprünglichen sind, und es gibt eine kanonische Projektion von erweiterten Strukturen auf ihre Redukte.

Demonstration

Gegeben sei eine Struktur A in der Sprache L′ = L ∪ {R}. Der L-Redukt von A ist die Struktur mit derselben Trägermenge wie A und mit jeder in L auftretenden Interpretation genau wie in A, wobei R ignoriert wird. Konkret hat der angeordnete Körper (R,+,·,0,1,<) als Redukt zur Sprache der Körper den Körper (R,+,·,0,1), der durch Vergessen der Ordnungsrelation entsteht.

Fehlanwendung

Einen Redukt so zu behandeln, als füge er Information hinzu (zum Beispiel anzunehmen, der Redukt könne Elemente unterscheiden, die nur durch die vergessenen Symbole unterschieden wurden) oder das Bilden eines Redukts mit dem Bilden einer Unterstruktur oder eines Quotienten zu verwechseln; ein Redukt verändert die Trägermenge nicht und identifiziert keine Elemente, es entfernt lediglich Vokabular.

Konsequenz

Redukte definieren einen forgetful Funktor von Strukturen in der reicheren Sprache zur kleineren Sprache; sie bewahren alle in der kleineren Sprache ausdruckbaren Wahrheiten und ermöglichen kanonische Vergleiche zwischen erweiterten und reduzierten Darstellungen derselben Trägermenge.

Umkehrung

Expansion: Der umgekehrte Prozess besteht darin, neue Symbole hinzuzufügen und deren Interpretationen anzugeben (möglicherweise auf viele nicht eindeutige Weisen); eine Expansion eines Redukts kann nicht eindeutig sein und kann Information wiederherstellen, die durch das Vergessen verloren ging.

Abgrenzung

Gilt nur für das Entfernen von Symbolen und deren Interpretationen, während dieselbe Trägermenge erhalten bleibt; schließt nicht die Bildung von Unterstrukturen, Quotienten oder Redukten ein, die Elemente der Trägermenge ändern. Schließt das Hinzufügen definitorischer Abkürzungen aus, die implizit neue Relationen einführten, sofern diese nicht explizit in der reduzierten Signatur erscheinen.

Semantische Spannung

Redukt versus Unterstruktur: Ein Redukt entfernt Vokabular, behält aber dieselbe Trägermenge, während eine Unterstruktur die Sprache beibehält, aber die Domäne einschränkt; beide verringern Komplexität, jedoch auf orthogonale Weise, was zu Missverständnissen bei Erhaltungsfragen führen kann.

Synthese

Ein Redukt ist das kanonische ‚Vergessen‘ einer Struktur durch Weglassen von Vokabular: Es formalisiert das Beobachten einer Struktur durch eine kleinere Sprache, wobei verbleibende Interpretationen bewahrt und der Rest verworfen werden.