Une relation entre théories où une nouvelle théorie est obtenue à partir d'une théorie de base en ajoutant de nouveaux symboles accompagnés d'axiomes définitoires explicites qui caractérisent ces symboles en termes du langage de base, de sorte qu'aucun nouveau théorème dans le langage original n'est introduit (conservativité).

Principe

Chaque symbole ajouté doit être assorti d'une formule définitoire dans le langage original qui en détermine le sens (souvent par des conditions d'existence et d'unicité), et l'extension doit être éliminable au sens où tout théorème sur le vocabulaire original prouvé dans l'extension était déjà prouvable dans la théorie de base.

Démonstration

Introduire un symbole de fonction f et ajouter l'axiome ∀x ∃!y φ(x,y) et l'axiome définitoire ∀x∀y (f(x)=y ↔ φ(x,y)). À condition que la théorie de base prouve les affirmations d'existence et d'unicité ou que l'on considère f comme une abréviation définitoire conservative, l'extension n'engendre pas de nouveaux résultats dans l'ancien langage.

Mauvaise application

Considérer comme définitionnelles des additions d'axiomes arbitraires (par ex. ajouter des axiomes d'existence sans équivalence définitoire) ou omettre de vérifier l'éliminabilité ; de telles opérations peuvent accroître discrètement la puissance, prouver de nouvelles phrases dans le langage initial ou introduire des engagements non souhaités.

Conséquence

Les extensions définitionnelles permettent un développement modulaire des théories et un confort notational sans changer le contenu substantiel concernant les symboles originaux ; elles préservent la consistance et permettent d'éliminer les définitions pour retrouver les preuves originales.

Inversion

Une extension non définitoire (axiomatique) ajoute un contenu théorique véritablement nouveau et peut prouver des énoncés dans le langage original qui étaient auparavant indémontrables ; passer d'une extension définitoire à une extension axiomatique accroît la force expressive et proof‑théorique.

Limite

S'applique aux théories formelles où des définitions explicites peuvent être formulées ; n'englobe pas les extensions conservatives obtenues par des moyens indirects non éliminables, ni les extensions ajoutant des affirmations d'existence sans équivalence définitoire ou faisant appel à des ressources d'ordre supérieur.

Tension sémantique

Tension avec des notions telles qu'extension conservative, éliminabilité et définissabilité implicite : une extension définitoire est un type particulier d'extension conservative avec définitions explicites éliminables, mais les définitions implicites ou abréviations non éliminables brouillent la distinction.

Synthèse

Une extension définitoire ajoute des symboles avec des définitions explicites éliminables de sorte que la théorie étendue est conservative sur la base pour le langage original ; elle formalise une notation sûre et la modularité sans modifier les conséquences de la théorie d'origine.