Eine Relation zwischen Theorien, bei der eine neue Theorie aus einer Basistheorie durch Hinzufügen neuer Symbole zusammen mit expliziten definitorischen Axiomen entsteht, die diese Symbole in der Basissprache eindeutig charakterisieren, sodass keine neuen Sätze in der ursprünglichen Sprache hinzukommen (Konservativität).

Prinzip

Jedes hinzugefügte Symbol muss eine definierende Formel in der ursprünglichen Sprache erhalten, die seine Bedeutung bestimmt (häufig mittels Existenz‑ und Eindeutigkeitsbedingungen), und die Erweiterung muss eliminierbar sein im Sinne, dass jedes Theorem über das ursprüngliche Vokabular, das in der Erweiterung beweisbar ist, bereits in der Basistheorie beweisbar war.

Demonstration

Man führt ein Funktionssymbol f ein und ergänzt die Axiome ∀x ∃!y φ(x,y) und die definitorische Gleichung ∀x∀y (f(x)=y ↔ φ(x,y)). Vorausgesetzt, die Basistheorie beweist die Existenz‑ und Eindeutigkeitsaussagen oder f wird als konservative definitorische Abkürzung behandelt, erzeugt die Erweiterung keine neuen Resultate in der alten Sprache.

Fehlanwendung

Willkürliche Axiombeigaben als definitorisch zu bezeichnen (z. B. Hinzufügen von Existenzaxiomen ohne definitorische Äquivalenz) oder die Eliminierbarkeit nicht zu prüfen; solche Schritte können verdeckt die Stärke erhöhen, neue Sätze in der Ursprungssprache beweisen oder unbeabsichtigte Verpflichtungen einführen.

Konsequenz

Definitorische Erweiterungen ermöglichen modulares Theoriebauen und bequeme Notation ohne Veränderung des substantiven Inhalts bezüglich der ursprünglichen Symbole; sie bewahren die Konsistenz und erlauben Eliminierung der Definitionen zur Rückgewinnung ursprünglicher Beweise.

Umkehrung

Eine nicht‑definitorische (axiomatische) Erweiterung fügt echten neuen theoretischen Gehalt hinzu und kann in der Ursprungssprache Aussagen beweisen, die zuvor unbeweisbar waren; der Übergang von definitorischer zu axiomatischer Erweiterung erhöht Ausdrucks‑ und beweistheoretische Stärke.

Abgrenzung

Gilt für formale Theorien, in denen explizite Definitionen ausdrückbar sind; umfasst nicht konservative Erweiterungen, die indirekt und nicht eliminierbar sind, noch Erweiterungen, die Existenzbehauptungen ohne definitorische Äquivalenz hinzufügen oder höhere Ordungsressourcen erfordern.

Semantische Spannung

Spannung besteht mit Begriffen wie konservativer Erweiterung, Eliminierbarkeit und impliziter Definierbarkeit: eine definitorische Erweiterung ist eine spezielle konservative Erweiterung mit expliziten eliminierbaren Definitionen, doch implizite Definitionen oder nicht eliminierbare Abkürzungen verwischen die Abgrenzung.

Synthese

Eine definitorische Erweiterung fügt Symbole mit expliziten, eliminierbaren Definitionen hinzu, so dass die erweiterte Theorie konservativ gegenüber der Basistheorie für das ursprüngliche Vokabular ist; sie formalisiert sichere Notation und Modularität ohne Änderung der ursprünglichen Folgerungen.