Une équivalence forte entre deux théories où chacune est interprétable dans l'autre et où les deux interprétations composées sont définissablement isomorphes à l'identité ; en pratique, les théories retrouvent la structure de l'autre à un isomorphisme définissable près.

Principe

Nécessite une paire de traductions I : T→S et J : S→T telles que la composition J∘I interprète T d'une manière définissablement isomorphe à l'interprétation identité de T (et réciproquement pour I∘J), garantissant la récupérabilité mutuelle de la structure définissable et des propriétés méta‑théoriques.

Démonstration

Si T est interprétée dans S par I et S dans T par J, et si l'on peut définir dans T l'isomorphisme attestant que J∘I agit comme l'identité sur les objets définissables de T, alors T et S sont bi‑interprétables ; cela survient fréquemment lorsque différentes formalismes présentent 'la même' structure mathématique.

Mauvaise application

Qualifier de bi‑interprétables des théories simplement interprétables réciproquement sans vérifier que les compositions sont définissablement isomorphes aux identités ; confondre bi‑interprétabilité avec des équivalences plus faibles (conservativité mutuelle, équivalence de Morita) est courant.

Conséquence

La bi‑interprétabilité implique un appariement serré des ensembles définissables, des groupes d'automorphismes et de nombreux invariants modèles‑théoriques ; elle entraîne souvent que les théories partagent les mêmes propriétés effectives et proof‑théoriques à traduction définissable près.

Inversion

La négation de la bi‑interprétabilité est l'asymétrie ordinaire de l'interprétabilité : deux théories peuvent s'interpréter mutuellement de façons non inversibles, de sorte que l'une code une structure supplémentaire non récupérable par l'autre.

Limite

Définie pour des théories formelles disposant d'un cadre de définissabilité adapté ; exclut de simples équivalences catégoriques des catégories de modèles ou des coïncidences syntaxiques qui ne fournissent pas d'isomorphismes définissables pour les compositions d'interprétations.

Tension sémantique

Tension entre bi‑interprétabilité et équivalence définitionnelle ou catégorique : la bi‑interprétabilité est plus forte que bien des notions pragmatiques de 'même théorie' mais plus faible que l'identité syntaxique littérale, ce qui nourrit des débats sur l'identité théorique.

Synthèse

La bi‑interprétabilité signifie que deux théories encodent exactement la même structure définissable de manière mutuellement récupérable : chacune interprète l'autre et les translations aller‑retour équivalent à l'identité définissable, établissant une équivalence robuste.