Eine starke Äquivalenz zwischen zwei Theorien, wobei jede in die andere interpretierbar ist und die beiden Interpretationen so komponieren, dass sie definierbar isomorph zur Identität sind; anschaulich stellen die Theorien die Struktur der jeweils anderen bis auf definierbares Isomorphie wieder her.

Prinzip

Erfordert ein Paar Übersetzungen I: T→S und J: S→T, so dass die Komposition J∘I T in einer Weise interpretiert, die definierbar isomorph zur Identitätsinterpretation von T ist (und dually für I∘J), wodurch die gegenseitige Wiedergewinnung definierbarer Struktur und metatheoretischer Eigenschaften gesichert ist.

Demonstration

Sind T und S durch I bzw. J interpretiert und lässt sich in T das Isomorphismusprädikat definieren, das belegt, dass J∘I wie die Identität auf den definierbaren Objekten von T wirkt, so sind T und S bi‑interpretierbar; dies tritt oft auf, wenn verschiedene Formalismen dieselbe mathematische Struktur darstellen.

Fehlanwendung

Jede gegenseitige Interpretierbarkeit pauschal als Bi‑Interpretierbarkeit zu bezeichnen, ohne die definierbaren Isomorphieeigenschaften der Kompositionen zu prüfen, ist fehlerhaft; Bi‑Interpretierbarkeit mit schwächeren Äquivalenzen wie gegenseitiger Konservativität oder Morita‑Äquivalenz zu verwechseln, ist häufig.

Konsequenz

Bi‑Interpretierbarkeit impliziert enge Übereinstimmung definierbarer Mengen, Automorphismengruppen und vieler modelltheoretischer Invarianten; oft haben die Theorien dann dieselben effektiven und beweistheoretischen Eigenschaften bis auf definierbare Übersetzung.

Umkehrung

Die Verneinung der Bi‑Interpretierbarkeit ist die gewöhnliche Asymmetrie von Interpretierbarkeit: Theorien können einander auf nicht invertierbare Weise interpretieren, sodass eine zusätzliche Struktur kodiert bleibt, die sich nicht zurückgewinnen lässt.

Abgrenzung

Definiert für formale Theorien mit geeignetem Definierbarkeitsrahmen; schließt bloße kategorientheoretische Äquivalenzen von Modellkategorien oder syntaktische Übereinstimmungen ohne definierbare Isomorphien der Kompositionen aus.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Bi‑Interpretierbarkeit und definitionsäquivalenter oder kategorialer Äquivalenz: Bi‑Interpretierbarkeit ist stärker als viele pragmatische ‚Gleichheits‘‑Begriffe, aber schwächer als buchstäbliche syntaktische Identität, was Debatten über Theoriegleichheit nährt.

Synthese

Bi‑Interpretierbarkeit bedeutet, dass zwei Theorien genau dieselbe definierbare Struktur in wechselseitig rückgewinnbaren Weisen kodieren: jede interpretiert die andere und die Hin‑ und Rückübersetzungen entsprechen der definierbaren Identität, womit eine robuste Äquivalenz entsteht.