La propriété d'une théorie formelle qui admet deux modèles non isomorphes satisfaisant pourtant les mêmes axiomes, montrant que les axiomes ne caractérisent pas de manière unique une structure visée à isomorphisme près.

Principe

Idée organisatrice : les axiomes du premier ordre laissent souvent une marge pour des réalisations multiples et non équivalentes parce que la logique du premier ordre ne peut pas, de façon générale, imposer l'unicité de la structure à travers toutes les cardinalités sans contraintes supplémentaires ou ressources d'ordre supérieur.

Démonstration

Les axiomes de groupe sont non catégoriques car il existe de nombreux groupes non isomorphes satisfaisant les mêmes axiomes de groupe ; l'arithmétique de Peano en premier ordre est non catégorique puisqu'elle admet des modèles non standard différents des naturels standards.

Mauvaise application

Prendre la non-catégoricité pour une inconsistance ou une faiblesse des mathématiques ; ou supposer que la non-catégoricité signifie que la théorie n'a aucun contenu utile plutôt que d'indiquer qu'elle permet plusieurs réalisations compatibles avec ses axiomes.

Conséquence

La non-catégoricité signale la nécessité d'affiner les axiomes, de restreindre les modèles visés ou de passer à des logiques plus fortes (par ex. axiomes de second ordre avec sémantique pleine) si l'on exige une unicité à isomorphisme près pour l'application visée.

Inversion

La situation inverse est la catégoricité, où une théorie a, à isomorphisme près, exactement un modèle d'une cardinalité donnée ou sous une sémantique choisie ; la catégoricité fourni la caractérisation unique que la non-catégoricité ne donne pas.

Limite

Dépend de la logique et des cardinalités considérées : une théorie peut être non catégorique en premier ordre mais catégorique pour une cardinalité spécifique ou sous la sémantique du second ordre ; la non-catégoricité exclut seulement des affirmations d'unicité, pas l'utilité de la théorie.

Tension sémantique

Tension entre le désir d'une suffisance axiomatique (une théorie, une structure) et l'appréciation model-théorique de réalisations multiples ; cette tension influe sur la préférence pour des axiomes plus riches ou pour le pluralisme des modèles.

Synthèse

La non-catégoricité décrit le fait que des axiomes permettent plusieurs modèles non isomorphes ; c'est un diagnostic sur ce que les axiomes ne fixent pas et une incitation soit à accepter le pluralisme des modèles, soit à renforcer le langage pour retrouver l'unicité.