La propiedad de una teoría formal de admitir dos o más modelos no isomorfos que, sin embargo, satisfacen los mismos axiomas, demostrando que los axiomas no caracterizan de modo único una estructura intentada salvo isomorfismo.

Principio

Idea organizadora: los axiomas de primer orden a menudo dejan libertad para múltiples realizaciones inequivalentes porque la lógica de primer orden no puede, en general, forzar la unicidad de la estructura en todas las cardinalidades sin restricciones adicionales o recursos de orden superior.

Demostración

Los axiomas de grupo son no categóricos porque existen muchos grupos no isomorfos que satisfacen los mismos axiomas; la aritmética de Peano en primer orden es no categórica porque admite modelos no estándar distintos de los naturales estándar.

Aplicación incorrecta

Confundir la no categoricidad con inconsistencia o debilidad de las matemáticas; o asumir que la no categoricidad significa que la teoría carece de contenido útil en lugar de indicar que permite múltiples realizaciones compatibles con sus axiomas.

Consecuencia

La no categoricidad señala la necesidad de refinar axiomas, restringir los modelos pretendidos o pasar a lógicas más fuertes (por ejemplo, segundo orden con semántica plena) si se requiere unicidad salvo isomorfismo para la aplicación pretendida.

Inversión

La situación inversa es la categoricidad, donde una teoría tiene, salvo isomorfismo, exactamente un modelo de una cardinalidad dada o bajo una semántica elegida; la categoricidad proporciona la caracterización única que la no categoricidad no ofrece.

Límite

Depende de la lógica y de las cardinalidades consideradas: una teoría puede ser no categórica en primer orden pero categórica en una cardinalidad específica o bajo semántica de segundo orden; la no categoricidad sólo excluye afirmaciones de unicidad, no la utilidad de la teoría.

Tensión semántica

Surge tensión entre el deseo de suficiencia axiomática (una teoría, una estructura) y la apreciación model-teórica de múltiples realizaciones; esta tensión influye en preferir axiomas más ricos o el pluralismo de modelos.

Síntesis

La no categoricidad describe cuándo los axiomas permiten múltiples modelos no isomorfos; es un diagnóstico de lo que los axiomas no fijan y un estímulo para aceptar pluralidad de modelos o fortalecer el lenguaje para recuperar unicidad.