Un modèle d'une théorie formelle qui satisfait tous les axiomes de la théorie mais contient des éléments ou des relations absentes de l'interprétation 'standard' prévue, souvent construit par des techniques model-théoriques telles que la compacité ou les ultraproduits.

Principe

L'idée organisatrice est que la complétude et la compacité de la logique du premier ordre, combinées à des codages flexibles de structures, permettent des modèles qui étendent ou déforment les éléments prévus (par exemple en ajoutant des entiers 'infinis' ou des infinitésimaux) tout en préservant les axiomes.

Démonstration

L'arithmétique de Peano admet des modèles non standard contenant des entiers 'infinis' supérieurs à tout entier naturel standard ; l'analyse non standard produit des prolongements des réels contenant des infinitésimaux et des éléments infinis tout en satisfaisant le principe de transfert.

Mauvaise application

Rejeter les modèles non standard comme non pertinents ou erronés parce qu'ils ne correspondent pas à l'intuition ; ou supposer qu'un modèle non standard réfute la théorie standard plutôt que de montrer la distinction entre la syntaxe et la sémantique voulue.

Conséquence

La reconnaissance des modèles non standard met en avant le pluralisme model-théorique et suggère des techniques alternatives (par ex. transfert, saturation) utilisables pour des démonstrations et des intuitions ; elle impose de préciser quand on parle de 'la' structure versus 'un' modèle des axiomes.

Inversion

L'inverse est une théorie catégorique où tout modèle est isomorphe au modèle standard prévu (à la cardinalité et sémantique près), éliminant les éléments non standard par des axiomes plus forts ou des contraintes d'ordre supérieur.

Limite

S'applique aux théories formelles dont les axiomes ne caractérisent pas de façon catégorique la structure visée ; exclut les contextes où le « modèle standard » est fixé de manière unique par une sémantique plus forte (par ex. axiomes de Peano en second ordre plein) ou par des engagements métathéoriques supplémentaires.

Tension sémantique

Tension entre la vision model-théorique (existence de nombreux modèles des axiomes) et la vision platoniste ou de structure visée (il existe une structure correcte unique) ; le choix d'une perspective influence l'usage ou le rejet des modèles non standard.

Synthèse

Un modèle non standard n'est pas une erreur mais un objet model-théorique légitime : il satisfait les axiomes tout en contenant des éléments que la conception informelle n'avait pas prévus, mettant en lumière l'écart entre adéquation synthactique et intention sémantique.