Un modelo de una teoría formal que satisface todos los axiomas de la teoría pero que contiene elementos o relaciones no presentes en la interpretación 'estándar' prevista, a menudo producido por construcciones model-teóricas como la compacidad o ultraproductos.

Principio

La idea organizadora es que la completitud y la compacidad de la lógica de primer orden, junto con codificaciones flexibles de estructuras, permiten modelos que extienden o deforman elementos previstos (por ejemplo añadiendo enteros 'infinitos' o infinitesimales) conservando todos los axiomas.

Demostración

La aritmética de Peano admite modelos no estándar que contienen enteros 'infinitos' mayores que cualquier número natural estándar; el análisis no estándar proporciona extensiones de los reales que incluyen infinitesimales y elementos infinitos a la vez que satisfacen el principio de transferencia.

Aplicación incorrecta

Descartar los modelos no estándar como irrelevantes o erróneos porque no coinciden con la intuición; o suponer que un modelo no estándar refuta la teoría estándar en vez de mostrar la distinción entre sintaxis y semántica pretendida.

Consecuencia

El reconocimiento de los modelos no estándar subraya el pluralismo model-teórico y sugiere técnicas alternativas (por ejemplo, transferencia, saturación) útiles en demostraciones e intuiciones; exige precisar cuándo se habla de 'la' estructura frente a 'un' modelo de los axiomas.

Inversión

El reverso es una teoría categórica en la que todo modelo es isomorfo al modelo estándar pretendido (dentro de las cardinalidades y semánticas relevantes), eliminando elementos no estándar mediante axiomas más fuertes o restricciones de orden superior.

Límite

Se aplica a teorías formales cuyos axiomas no caracterizan categóricamente la estructura prevista; excluye contextos en los que el 'modelo estándar' está fijado de manera única por semánticas más fuertes (por ejemplo, axiomas de Peano en segundo orden pleno) o por compromisos metateóricos adicionales.

Tensión semántica

Existe tensión entre la visión model-teórica (muchos modelos de los axiomas) y la visión platónica o de estructura pretendida (una estructura correcta única); la perspectiva adoptada afecta a si los modelos no estándar se emplean o se descartan.

Síntesis

Un modelo no estándar no es un error sino un objeto legítimo de la teoría de modelos: satisface los axiomas mientras contiene elementos que la concepción informal no había previsto, poniendo de relieve la brecha entre la adecuación sintáctica y la intención semántica.