Deux structures M et N (même signature) sont élémentairement équivalentes si elles satisfont exactement les mêmes phrases du premier ordre (sans paramètres) ; on écrit M ≡ N. L'équivalence porte sur les phrases fermées, pas nécessairement sur les formules avec paramètres.

Principe

La règle organisatrice est l'accord sur la théorie complète du premier ordre dans la signature donnée : M et N ne peuvent être distinguées par aucune phrase fermée du premier ordre.

Démonstration

Exemple : les ordres (Q,<) et (R,<) sont élémentairement équivalents dans le langage des ordres linéaires sans bornes car tous deux satisfont la théorie complète des ordres linéaires denses sans extrémités, bien qu'ils ne soient pas isomorphes.

Mauvaise application

Supposer que l'équivalence élémentaire implique isomorphisme ou qu'elle garantit l'accord sur les formules avec paramètres ; confondre M ≡ N avec M ≺ N ou avec l'existence d'un plongement entre elles.

Conséquence

L'équivalence élémentaire signifie que les modèles partagent les mêmes conséquences du premier ordre et donc la même théorie complète : cela permet de transférer des propriétés au niveau des phrases et de classifier les modèles par théorie plutôt que par classe d'isomorphisme.

Inversion

La non-équivalence se traduit par l'existence d'une phrase du premier ordre vraie dans une structure et fausse dans l'autre, montrant qu'elles satisfont des théories complètes différentes.

Limite

L'équivalence élémentaire est relative à une signature fixe et concerne les phrases sans paramètres. Elle n'implique pas l'élémentarité d'un plongement, l'accord sur des formules paramétrées ni la préservation d'invariants modelthéoriques comme la cardinalité ou la saturation.

Tension sémantique

La tension vient de la différence entre équivalence théorique et similarité structurelle : deux modèles peuvent être élémentairement équivalents tout en étant très différents (différentes cardinalités, topologies, types d'ordre), ce qui met en lumière la distinction entre théorie syntaxique et structure concrète.

Synthèse

L'équivalence élémentaire regroupe les structures qui satisfont les mêmes phrases fermées du premier ordre : elles sont indiscernables au niveau de la théorie du premier ordre même si elles diffèrent par leur taille, leur topologie ou d'autres caractéristiques non exprimables par des phrases.