Zwei Strukturen M und N (gleiche Signatur) heißen elementar äquivalent, wenn sie genau dieselben erstordnungslogischen Sätze (ohne Parameter) erfüllen; kurz: M ≡ N. Die Äquivalenz bezieht sich auf geschlossene Sätze, nicht auf Formeln mit Parametern.

Prinzip

Die ordnende Regel ist die Übereinstimmung über die vollständige erstordnungslogische Theorie in der gegebenen Signatur: M und N sind durch keinen geschlossenen erstordnungslogischen Satz unterscheidbar.

Demonstration

Beispiel: Die geordneten Mengen (Q,<) und (R,<) sind in der Sprache linearer Ordnungen ohne Endpunkte elementar äquivalent, weil beide die vollständige Theorie dichter linearer Ordnungen ohne Endpunkte erfüllen, obwohl sie nicht isomorph sind.

Fehlanwendung

Zu glauben, elementare Äquivalenz impliziere Isomorphie oder Übereinstimmung bei Formeln mit Parametern; M ≡ N mit M ≺ N oder mit Existenz einer Einbettung zu verwechseln.

Konsequenz

Elementare Äquivalenz bedeutet, dass die Modelle dieselben erstordnungslogischen Folgerungen und damit dieselbe vollständige Theorie haben; dies erlaubt das Übertragen satz‑ebener Eigenschaften und die Klassifikation von Modellen nach Theorie statt nach Isomorphieklasse.

Umkehrung

Nicht‑Äquivalenz heißt, es gibt einen erstordnungslogischen Satz, der in der einen Struktur wahr und in der anderen falsch ist; damit realisieren sie verschiedene vollständige Theorien.

Abgrenzung

Elementare Äquivalenz ist signaturabhängig und bezieht sich auf Sätze ohne Parameter. Sie impliziert nicht die Elementarität einer Einbettung, keine Übereinstimmung bei parametrierten Formeln und keine Erhaltung modelltheoretischer Invarianten wie Mächtigkeit oder Sättigung.

Semantische Spannung

Die Spannung liegt zwischen theoretischer Gleichheit und struktureller Ähnlichkeit: Modelle können elementar äquivalent sein, aber sehr unterschiedlich (unterschiedliche Mächtigkeiten, Topologien, Ordnungstypen), was den Unterschied zwischen syntaktischer Theorie und konkreter Struktur betont.

Synthese

Elementare Äquivalenz gruppiert Strukturen, die dieselben geschlossenen erstordnungslogischen Sätze erfüllen — sie sind auf Theoriebene ununterscheidbar, auch wenn sie sich in nicht‑satzdrückbaren Merkmalen unterscheiden.