Une structure N est une extension élémentaire d'une structure M (même signature) si M est une sous-structure élémentaire de N ; équivalemment, toute formule du premier ordre avec paramètres dans M a la même valeur de vérité dans M et dans N. Notation : M ≺ N ou N ⪰ M.

Principe

L'idée centrale est d'agrandir un modèle sans modifier aucune vérité du premier ordre portant sur les éléments du modèle initial : des extensions qui ajoutent de nouveaux éléments mais ne changent pas les formules paramétrées provenant du domaine original.

Démonstration

Exemple : on peut prendre un modèle dénombrable M d'une théorie complète et construire une extension élémentaire N saturée ou suffisamment grosse réalisant des types supplémentaires sur M ; N contient ainsi des éléments nouveaux réalisant des types omis dans M tout en préservant les vérités du premier ordre sur les tuples de M.

Mauvaise application

Supposer que toute superstructure propre est élémentaire, ou que toute inclusion dans une structure plus grande préserve automatiquement toutes les formules du premier ordre avec paramètres ; confondre extension élémentaire avec simple extension ou avec équivalence élémentaire sans plongement réel.

Conséquence

Les extensions élémentaires permettent de faire apparaître des réalisations de types, d'effectuer des constructions par compacité et de comparer modèles par saturation et cardinalité, tout en garantissant que les propriétés internes de M au premier ordre restent inchangées.

Inversion

Une extension non élémentaire est une superstructure qui, bien qu'elle contienne M, rend vraies ou fausses certaines assertions du premier ordre portant sur des tuples de M de façon différente que M.

Limite

L'élémentarité comme extension dépend de la signature et des paramètres autorisés ; elle n'affirme pas la conservation d'énoncés d'ordre supérieur ni de propriétés méta‑mathématiques, et n'impose pas d'isomorphisme ni de conservation des cardinalités sauf si ces notions sont exprimables dans le langage.

Tension sémantique

Il existe une tension entre les extensions élémentaires et d'autres notions d'agrandissement (par exemple fermetures algébriques ou topologiques) : l'extension élémentaire préserve la théorie du premier ordre avec paramètres, tandis que d'autres fermetures préservent d'autres caractéristiques.

Synthèse

Une extension élémentaire N de M est une superstructure qui ajoute des éléments ou des témoins sans modifier les faits du premier ordre concernant les éléments de M ; c'est la manière contrôlée d'agrandir un modèle tout en laissant M inchangé du point de vue de la logique du premier ordre.