Eine Struktur N ist eine elementare Erweiterung einer Struktur M (gleiche Signatur), falls M eine elementare Teilstruktur von N ist; äquivalent haben alle Formeln erster Ordnung mit Parametern aus M in M und in N denselben Wahrheitswert. Notation: M ≺ N oder N ⪰ M.

Prinzip

Der Kerngedanke ist, ein Modell zu vergrößern, ohne irgendeine erstordnungslogische Wahrheit über die Elemente des kleineren Modells zu verändern: Erweiterungen, die neue Elemente hinzufügen, dabei aber Formeln mit Parametern aus dem Ursprungsmodell nicht ändern.

Demonstration

Beispiel: Man nehme ein abzählbares Modell M einer vollständigen Theorie und baue eine hinreichend gesättigte elementare Erweiterung N, die zusätzliche Typen über M realisiert; N enthält dann neue Elemente, welche in M fehlende Typen verwirklichen, während alle erstordnungslogischen Aussagen über M unangetastet bleiben.

Fehlanwendung

Zu glauben, jede echte Superstruktur sei automatisch elementar, oder jede Einbettung in eine größere Struktur erhalte sämtliche parametrierten erstordnungslogischen Formeln; elementare Erweiterung nicht mit bloßer Erweiterung oder nur elementarer Äquivalenz zu verwechseln.

Konsequenz

Elementare Erweiterungen erlauben das Realisieren von Typen, Konstruktionen mithilfe der Kompaktheit und den Vergleich von Modellen bezüglich Sättigung und Mächtigkeit, wobei die inneren erstordnungslogischen Eigenschaften von M erhalten bleiben.

Umkehrung

Eine nicht-elementare Erweiterung ist eine Superstruktur, die M zwar enthält, aber einige erstordnungslogische Aussagen über Tupel aus M in anderer Wahrheit macht als M selbst.

Abgrenzung

Elementarität als Erweiterungsbegriff ist signaturabhängig und bezieht sich nur auf Parameter aus M; sie sichert keine Erhaltung höherordentlicher Aussagen oder meta-mathematischer Eigenschaften wie Kardinalität, sofern diese nicht erstordnungslogisch ausdrückbar sind.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen elementaren Erweiterungen und anderen Vergrößerungskonzepten (z. B. algebraische oder topologische Hüllen): elementare Erweiterungen erhalten die erstordnungslogische Theorie mit Parametern, andere Hüllen erhalten andere strukturelle Merkmale.

Synthese

Eine elementare Erweiterung N von M ist eine Superstruktur, die neue Elemente oder Zeugen hinzufügt, ohne erstordnungslogische Tatsachen über M zu verändern; sie ist die kontrollierte Art, Modelle zu vergrößern, wobei M aus Sicht der ersten Ordnung unverändert bleibt.