Une sous-structure M d'une structure N (même signature) qui préserve la vérité de toute formule du premier ordre avec paramètres dans M ; formellement, pour toute formule du premier ordre φ(x1,..,xn) et tout tuple a de M, N ⊨ φ(a) si et seulement si M ⊨ φ(a). On note souvent M ≺ N.

Principe

La règle organisatrice est la préservation de la vérité pour les propriétés du premier ordre avec paramètres pris dans le domaine plus petit : aucune nouvelle propriété du premier ordre concernant les éléments de M ne devient vraie dans N ni ne cesse de l'être dans M lorsqu'on les considère dans N.

Démonstration

Exemple : dans le langage des corps ordonnés, le corps des rationnels n'est pas une sous-structure élémentaire du corps des réels parce qu'une formule exprimant « il existe x tel que x^2 = 2 » est vraie dans les réels et fausse dans les rationnels ; de façon triviale, toute structure est une sous-structure élémentaire d'elle‑même (M ≺ M).

Mauvaise application

Considérer comme élémentaire toute sous-structure simplement fermée sous les opérations de la signature ; confondre sous-structure élémentaire avec sous-structure au sens pur, avec copie isomorphe, ou avec sous-structure existentialement close sans vérifier la préservation de toutes les formules du premier ordre.

Conséquence

Si M ≺ N, toute phrase du premier ordre avec paramètres dans M vraie dans N l'était déjà dans M : on peut transférer les propriétés définissables, les types réalisés dans M et beaucoup d'arguments méta‑modèles (mécanismes back-and-forth, tests d'élémentarité) entre M et N.

Inversion

La notion inverse est une sous-structure qui n'est pas élémentaire : un sous-ensemble fermé par les opérations qui échoue néanmoins à préserver une certaine formule du premier ordre avec paramètres issus du sous‑ensemble.

Limite

L'élémentarité est une notion du premier ordre relative à une signature fixée et n'autorise comme paramètres que des éléments de la sous-structure ; elle ne traite pas des énoncés d'ordre supérieur, des propriétés du deuxième ordre ni d'aspects méta‑mathématiques comme le cardinal, sauf si ceux-ci sont exprimables au premier ordre.

Tension sémantique

La tension provient de l'opposition entre l'élémentarité et des relations plus faibles telles que l'équivalence élémentaire, l'immersion existentielle ou l'isomorphisme : la sous‑structure élémentaire exige l'accord total sur les formules avec paramètres, tandis que les autres relations en exigent moins.

Synthèse

Une sous-structure élémentaire M ≺ N est exactement une sous-structure que la structure ambiante N ne distingue pas des éléments de M à l'aide d'aucune formule du premier ordre mentionnant ces éléments ; elle formalise l'idée « aucun nouvel énoncé du premier ordre sur M n'apparaît dans N ».