Eine Teilstruktur M einer Struktur N (gleiche Signatur), die die Wahrheit jeder prädikatenlogischen (ersten Ordnung) Formel mit Parametern aus M erhält; formal gilt für jede Formel φ(x1,..,xn) und jedes Tupel a aus M: N ⊨ φ(a) genau dann, wenn M ⊨ φ(a). Man schreibt häufig M ≺ N.

Prinzip

Die leitende Regel ist die Wahrheits‑Erhaltung von erstordnungslogischen Aussagen mit Parametern aus der kleineren Domäne: Es treten in N keine neuen erstordnungslogischen Fakten über Elemente von M auf, die in M nicht bereits gelten.

Demonstration

Beispiel: Im Sprachrahmen geordneter Körper ist der Körper der rationalen Zahlen keine elementare Teilstruktur der reellen Zahlen, weil die Formel ‚es existiert x mit x^2 = 2‘ in R wahr, in Q aber falsch ist. Trivialerweise ist jede Struktur eine elementare Teilstruktur von sich selbst (M ≺ M).

Fehlanwendung

Jede Teilstruktur, die nur unter den Signaturoperationen abgeschlossen ist, fälschlich als elementar zu betrachten; elementare Teilstruktur nicht von bloßer Isomorphie oder von existenzieller Eingebettetheit zu unterscheiden, ohne die vollständige Erhaltung aller erstordnungslogischen Formeln zu prüfen.

Konsequenz

Wenn M ≺ N, dann gilt jede erstordnungslogische Formel mit Parametern in M in N genau dann, wenn sie in M gilt; dies ermöglicht das Übertragen von Definierbarkeitsfragen, Realisierungen von Typen und zahlreiche modeltheoretische Argumente zwischen M und N.

Umkehrung

Die Gegenrichtung ist eine Teilstruktur, die nicht elementar ist: eine unter den Operationen abgeschlossene Menge, die dennoch in Bezug auf gewisse erstordnungslogische Formeln mit Parametern aus der Menge versagt.

Abgrenzung

Elementarität ist eine erstordnungslogische Eigenschaft bezüglich einer festen Signatur und erlaubt nur Parameter aus der Teilstruktur; sie betrifft keine Aussagen höherer Ordnung oder meta-mathematische Eigenschaften wie Kardinalität, sofern diese nicht erstordnungslogisch ausdrückbar sind.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Elementarität und schwächeren Relationen wie elementarer Äquivalenz, existenziellen Einbettungen oder bloßer Isomorphie: Elementarität verlangt vollständige Übereinstimmung bei Formeln mit Parametern, die anderen nicht.

Synthese

M ≺ N bedeutet, dass N keine erstordnungslogischen Unterscheidungsmerkmale über Elemente von M besitzt, die M nicht sowieso besitzt; elementare Teilstruktur ist die formale Bedingung dafür, dass M aus Sicht der ersten Ordnung unverändert bleibt.