Filtre propre maximal sur une algèbre de Boole ou sur l'ensemble des parties d'un ensemble : une collection de sous-ensembles fermée par intersection finie et passage aux sur-ensembles, contenant exactement l'une des deux parties d'une partition complémentaire ; les ultrafiltres principaux sont engendrés par un point, les non principaux ne le sont pas.

Principe

Un ultrafiltre décide l'appartenance de tout sous-ensemble : pour tout A, soit A soit son complément appartient à l'ultrafiltre. La maximalité par rapport à l'ordre des filtres impose cette décision globale et fonde les constructions de type limite.

Démonstration

Sur un ensemble fini tout ultrafiltre est principal (engendré par un singleton). Sur N, l'existence d'un ultrafiltre non principal (lorsqu'il existe) sert à former des entiers non standard via des ultraproduits et à construire des ultraproduits en théorie des modèles.

Mauvaise application

Prendre un filtre large quelconque (par exemple le filtre cofin) pour un ultrafiltre, ou utiliser un filtre propre arbitraire là où la maximalité est requise ; supposer l'existence d'ultrafiltres non principaux sans précision des hypothèses d'ensemble est aussi une mauvaise application dans certains cadres.

Conséquence

Les ultrafiltres permettent les constructions d'ultraproduits et d'ultrapouvoirs qui préservent la vérité du premier ordre (via le théorème de Łoś), produisent des extensions élémentaires et des arguments de type compacité, et servent de mesures additivement finies à valeurs 0–1 en combinatoire.

Inversion

Un simple filtre qui n'est pas maximal peut contenir de nombreux ensembles sans décider leurs complémentaires ; privilégier des filtres non maximaux donne des exemples qui ne supportent pas le transfert à la Łoś.

Limite

La définition s'applique aux filtres sur des algèbres de Boole ou des ensembles de parties ; les ultrafiltres principaux existent toujours, l'existence d'ultrafiltres non principaux sur des ensembles infinis dépend d'hypothèses en théorie des ensembles ; les ultrafiltres sont des dispositifs de décision bipolaire et ne se généralisent pas directement aux mesures σ-additives.

Tension sémantique

Tension entre l'ultrafiltre comme dispositif combinatoire de choix (décider l'appartenance) et comme objet semblable à une mesure : les ultrafiltres ressemblent à des mesures à valeurs 0–1 mais sans σ-additivité, ils diffèrent donc nettement des mesures de probabilité ou des limites de Banach.

Synthèse

Un ultrafiltre est un filtre maximal et décisionnel sur une algèbre de Boole : il choisit un côté de chaque partition, permettant des constructions d'ultraproduits qui transfèrent les propriétés du premier ordre et fournissent des outils combinatoires puissants, tout en restant distinct d'objets mésure-théoriques.