Un filtro propio maximal en una álgebra de Boole o en la potencia de un conjunto: una colección de subconjuntos cerrada bajo intersecciones finitas y sobconjuntos que contiene exactamente uno de cada par complementario; los ultrafiltros principales se generan por un punto, los no principales no.

Principio

Un ultrafiltro decide la pertenencia de cada subconjunto: para cualquier A, o A o su complemento pertenece al ultrafiltro. La maximalidad respecto del orden de filtros impone esta capacidad decisoria global y sustenta construcciones de tipo límite.

Demostración

En un conjunto finito todo ultrafiltro es principal (generado por un singleton). En los naturales, un ultrafiltro no principal (cuando existe) se usa para formar enteros no estándar mediante ultrapoderes y para construir ultraproductos en teoría de modelos.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier filtro grande (por ejemplo el filtro cofinito) como un ultrafiltro, o usar un filtro propio arbitrario donde se requiere maximalidad; suponer que existen ultrafiltros no principales sin especificar hipótesis de teoría de conjuntos es un abuso en ciertos marcos.

Consecuencia

Los ultrafiltros permiten las construcciones de ultraproducto y ultrapoder que preservan la verdad de primer orden (por el teorema de Łoś), producen extensiones elementales y argumentos tipo compacidad, y sirven como medidas finitamente aditivas 0–1 en argumentos combinatorios.

Inversión

Un filtro que no es maximal puede contener muchos conjuntos sin decidir sus complementos; privilegiar filtros no maximal conduce a ejemplos que no admiten transferencia al estilo de Łoś.

Límite

La definición se aplica a filtros sobre álgebras de Boole o conjuntos de partes; los ultrafiltros principales siempre existen, la existencia de ultrafiltros no principales en conjuntos infinitos depende de supuestos de teoría de conjuntos; los ultrafiltros son dispositivos de decisión binaria y no se generalizan directamente a medidas σ-aditivas.

Tensión semántica

Tensión entre el ultrafiltro como selector combinatorio (decidir pertenencia) y como objeto semejante a medida: los ultrafiltros se parecen a medidas 0–1 pero carecen de σ-aditividad, por lo que difieren de medidas de probabilidad o límites de Banach.

Síntesis

Un ultrafiltro es el filtro maximal y decisorio en una álgebra de Boole: elige un lado de cada partición, habilita ultraproductos que transfieren propiedades de primer orden y proporciona herramientas combinatorias potentes, a la vez que es distinto de objetos teoría-medida.