Une structure κ-saturée (structure saturée) est un modèle M tel que pour tout ensemble de paramètres A ⊆ M de cardinal strictement inférieur à κ, tout type consistant sur A (en un nombre fini de variables) est réalisé dans M ; la saturation exprime que M est suffisamment riche pour contenir des réalisations de toutes les descriptions consistantes de petite taille.

Principe

Réalisation des petits types : la saturation est une propriété de complétude dépendant d’un cardinal, affirmant qu’aucune contrainte consistante sur un petit ensemble de paramètres n’échoue à être réalisée, reliant des conditions de taille combinatoires à l’exhaustivité modélistique et souvent utilisée pour construire des modèles monstres ou des univers ambiants canoniques.

Démonstration

Si κ est un cardinal non dénombrable limite fort supérieur à la taille du langage, un modèle κ-saturé d’une théorie complète T de cardinalité κ réalise tout type sur des ensembles de taille < κ ; dans les théories stables, les modèles saturés d’une cardinalité donnée non dénombrable sont uniques à isomorphisme près et servent de modèles canoniques de grande taille.

Mauvaise application

Confondre la saturation avec l’homogénéité (la saturation implique une certaine homogénéité mais ce sont des notions distinctes) ou supposer la saturation dénombrable sans vérifier les bornes cardinales ; supposer aussi que toute théorie possède des modèles saturés en toute cardinalité sans tenir compte des contraintes set-théoriques ou de stabilité.

Conséquence

Les structures saturées sont hautement homogènes, réalisent de nombreux types, simplifient les arguments de classification et d’indépendance, et servent souvent de modèles 'monstres' ambiants pour étudier les types, les automorphismes et le calcul du forking.

Inversion

Des modèles non saturés, premiers ou atomiques omettent certains petits types consistants ; inverser la saturation produit des modèles minimaux, atomiques ou rigides qui ne réalisent pas l’ensemble complet des petits types.

Limite

Dépend du cardinal κ et du langage/de la théorie ; la saturation concerne les types du premier ordre sur des ensembles de paramètres de taille strictement inférieure à κ et ne garantit pas automatiquement la réalisation de types sur des ensembles plus grands ni dans des logiques au-delà du premier ordre.

Tension sémantique

Tension entre la recherche d’un modèle richement réalisé (saturation) et les limitations imposées par l’arithmétique des cardinaux, la stabilité ou l’absence de modèles dans certaines tailles ; la saturation met en balance la taille du modèle et des contraintes combinatoires avec la complétude expressive.

Synthèse

Une structure κ-saturée est un modèle qui, par rapport au seuil κ, réalise toute description du premier ordre consistante sur de petits ensembles de paramètres ; elle formalise l’idée d’un modèle maximalement riche sous des contraintes de cardinalité et soutient de nombreux arguments globaux en théorie des modèles.