Una estructura κ-saturada (estructura saturada) es un modelo M tal que para todo conjunto de parámetros A ⊆ M con |A| < κ, todo tipo consistente sobre A (en un número finito de variables) se realiza dentro de M; la saturación expresa que M es lo bastante rico para contener realizaciones de todas las descripciones pequeñas y consistentes.

Principio

Realización de tipos pequeños: la saturación es una propiedad dependiente del cardinal que afirma que ninguna restricción consistente sobre un conjunto pequeño de parámetros queda sin realización, enlazando condiciones combinatorias de tamaño con la plenitud modelística y usándose para construir modelos monstruo o universos canónicos.

Demostración

Si κ es un cardinal no numerable fuerte límite mayor que el tamaño del lenguaje, un modelo κ-saturado de una teoría completa T de cardinalidad κ realiza todo tipo sobre conjuntos de tamaño < κ; en teorías estables, los modelos saturados de una cardinalidad no numerable dada son únicos a isomorfismo y sirven como modelos canónicos grandes.

Aplicación incorrecta

Confundir saturación con homogeneidad (la saturación implica cierta homogeneidad pero no son idénticas) o asumir saturación contable sin comprobar las cotas cardinales; suponer además que toda teoría tiene modelos saturados en cualquier cardinalidad sin atender restricciones set-teóricas o de estabilidad.

Consecuencia

Las estructuras saturadas son muy homogéneas, realizan muchos tipos, simplifican argumentos de clasificación e independencia y a menudo sirven como modelos 'monstruo' en los que estudiar tipos, automorfismos y el cálculo de forking.

Inversión

Modelos no saturados o primos/atómicos omiten algunos tipos pequeños consistentes; invertir la saturación produce modelos mínimos, atómicos o rígidos que pueden no realizar la oferta completa de tipos pequeños.

Límite

Depende del cardinal κ y del lenguaje/la teoría; la saturación trata tipos de primer orden sobre conjuntos de parámetros de tamaño inferior a κ y no garantiza automáticamente realizaciones para tipos sobre conjuntos más grandes ni en lógicas fuera del primer orden.

Tensión semántica

Tensión entre el deseo de un modelo ricamente realizado (saturación) y las limitaciones de la aritmética de cardenales, la estabilidad o la ausencia de modelos en ciertos tamaños; la saturación compensa el tamaño del modelo y restricciones combinatorias frente a la completitud expresiva.

Síntesis

Una estructura κ-saturada es un modelo que, respecto al umbral κ, realiza toda descripción consistente del primer orden sobre pequeños conjuntos de parámetros; formaliza la idea de un modelo maximalmente rico bajo restricciones cardinales y fundamenta muchos argumentos globales en teoría de modelos.