Un type complet (aussi appelé n-type complet) est un ensemble maximal et consistant de formules du premier ordre avec paramètres dans une structure donnée ou sur un ensemble de paramètres, pour un tuple fixé de variables libres ; il contient pour chaque formule relevant dans ces variables soit la formule soit sa négation, décrivant ainsi toutes les propriétés du premier ordre qu’un tuple peut satisfaire relativement à l’ensemble de paramètres.

Principe

Consistance maximale : un type complet est consistant et contient, pour chaque formule dans les variables pertinentes avec paramètres de la base, une décision (la formule ou sa négation). La maximalité garantit qu’on ne peut pas étendre le type sans contradiction, ce qui le rend syntaxiquement précis pour le comportement du tuple.

Démonstration

Dans un corps algébriquement clos K, le 1-type complet sur l’ensemble vide d’un élément transcendant contient des formules exprimant « x est transcendant sur le corps premier » et, pour chaque polynôme non nul p, la formule « p(x) ≠ 0 » ; cet ensemble est maximal et consistant et caractérise l’élément transcendant parmi ses réalisations.

Mauvaise application

Considérer comme type complet un ensemble consistant mais non maximal de formules (confusion entre description partielle et complétude), ou supposer qu’un type complet doit être isolé ou réalisé dans tout modèle, alors qu’il peut être omis dans certains modèles.

Conséquence

Les types complets correspondent à des points de l’espace des types (espace de Stone) ; leur réalisabilité dans un modèle détermine des phénomènes comme la saturation, l’omission de types et des propriétés de classification d’une théorie.

Inversion

Un type partiel est un ensemble consistant non maximal de formules qui laisse certaines formules indécises ; inverser la maximalité produit plusieurs extensions compatibles au lieu d’une description décidée.

Limite

Limité aux formules du premier ordre dans un langage fixé et à un tuple de variables choisi ; la complétude renvoie à la maximalité syntaxique sur un ensemble de paramètres spécifié et n’affirme pas en soi la réalisabilité dans un modèle donné ni ne s’étend aux logiques du second ordre.

Tension sémantique

Tension entre la maximalité syntaxique (l’ensemble décide chaque formule) et la réalisabilité sémantique (si un modèle contient un tuple réalisant cet ensemble) ; un type complet syntaxiquement peut être non réalisé dans certaines structures.

Synthèse

Un type complet est la description syntaxique maximale des propriétés du premier ordre d’un tuple potentiel sur un ensemble de paramètres : il constitue la décision maximale et consistante de chaque formule dans les variables choisies, et son interaction avec la réalisabilité et la topologie structure des types fonde de nombreuses constructions en théorie des modèles.