Un tipo completo (también llamado n-tipo completo) es un conjunto maximal y consistente de fórmulas de primer orden con parámetros en una estructura dada o sobre un conjunto de parámetros, en un tuplo fijo de variables libres; contiene, para cada fórmula en esas variables, o la fórmula o su negación, describiendo así todas las propiedades de primer orden que un tuplo puede satisfacer respecto al conjunto de parámetros.

Principio

Consistencia máxima: un tipo completo es consistente y contiene, para cada fórmula relevante con parámetros de la base, una decisión (la fórmula o su negación). La maximalidad garantiza que no se puede extender el tipo sin introducir contradicción, haciendo la descripción sintácticamente precisa.

Demostración

En un cuerpo algebraicamente cerrado K, el tipo completo de una variable sobre el conjunto vacío correspondiente a un elemento trascendente contiene fórmulas que afirman 'x es trascendente sobre el cuerpo primo' y, para cada polinomio no nulo p, la fórmula 'p(x) ≠ 0'; este conjunto es maximal y consistente y caracteriza el elemento trascendente.

Aplicación incorrecta

Tratar como tipo completo a un conjunto consistente pero no maximal de fórmulas (confundir descripción parcial con completitud), o suponer que un tipo completo debe estar aislado o ser realizado en todo modelo cuando puede omitirse en algunos modelos.

Consecuencia

Los tipos completos corresponden a puntos en el espacio de tipos (espacio de Stone); su realización en un modelo controla fenómenos como la saturación, la omisión de tipos y propiedades de clasificación de teorías.

Inversión

Un tipo parcial es un conjunto consistente no maximal de fórmulas que deja algunas fórmulas sin decidir; invertir la maximalidad da lugar a múltiples extensiones compatibles en lugar de una colección decisiva única.

Límite

Limitado a fórmulas de primer orden en un lenguaje fijo y a un tuplo de variables elegido; la completitud se refiere a la maximalidad sintáctica sobre un conjunto de parámetros especificado y no asegura por sí misma la realización en un modelo dado ni se extiende a lógicas de orden superior.

Tensión semántica

Tensión entre la maximalidad sintáctica (el conjunto decide cada fórmula) y la realización semántica (si existe un modelo que contenga un tuplo que realice ese conjunto); un tipo sintácticamente completo puede no realizarse en ciertas estructuras.

Síntesis

Un tipo completo es la descripción sintáctica máxima de las propiedades de primer orden de un tuplo potencial sobre un conjunto de parámetros: es la decisión consistente y maximal de cada fórmula en las variables elegidas, y su relación con la realización y la topología de tipos sustenta muchas construcciones de teoría de modelos.