Une structure relationnelle (W,R) constituée d'un ensemble non vide W de mondes possibles et d'une relation d'accessibilité binaire R ⊆ W×W utilisée pour interpréter des opérateurs modaux ou temporels indépendamment de toute valuation des atomes propositionnels.

Principe

La vérité modale se définit relativement aux mondes et à leurs relations : la relation d'accessibilité encode les contraintes modales ou temporelles qui déterminent comment la vérité se propage entre mondes (par ex. la nécessité exige la vérité dans tous les mondes accessibles).

Démonstration

Un cadre pour une logique temporelle à modalité 'suivant' peut être un graphe orienté dont les nœuds sont des états de programme et dont les arêtes modélisent la transition 'suivant' ; les propriétés de R (ex. réflexivité, transitivité) correspondent à des axiomes modaux comme T ou S4.

Mauvaise application

Confondre un cadre avec un modèle de Kripke complet en supposant qu'il inclut des affectations de vérité ; traiter les propriétés du cadre comme des vérités sémantiques sur le domaine plutôt que comme des contraintes caractérisant des classes de cadres pour lesquelles certaines formules sont valides.

Conséquence

Les cadres classifient et distinguent les logiques modales par des contraintes structurelles sur R ; les conditions sur les cadres fournissent un moyen d'établir des résultats de correspondance et de complétude reliant axiomes et propriétés relationnelles.

Inversion

Un modèle de Kripke est l'inverse en ce qu'il étend un cadre en ajoutant une valuation qui assigne la vérité aux variables propositionnelles dans chaque monde ; ne considérer que des valuations sans relation fait perdre la structure modale.

Limite

S'applique à la sémantique relationnelle des variantes modales, temporelles et intuitionnistes où les mondes et l'accessibilité ont un sens ; les cadres ne spécifient pas de valuations, de probabilités, d'interprétations intentionnelles ou d'équivalents algébriques sauf augmentation explicite.

Tension sémantique

Conflit avec les sémantiques algébriques ou de voisinage : les cadres mettent l'accent sur la structure relationnelle fondée sur des mondes, tandis que des sémantiques alternatives codent la modalité via des opérations algébriques ou des ensembles de voisinages ; la lecture métaphorique des 'mondes possibles' rivalise avec une lecture purement relationnelle technique.

Synthèse

Un cadre de Kripke est le substrat relationnel abstrait (W,R) qui capture la façon dont les modalités relient des mondes ; en séparant la structure de la valuation, il permet d'étudier l'effet des contraintes d'accessibilité sur la validité et la correspondance entre systèmes modaux.