Propriété selon laquelle chaque symbole non logique (relation, fonction ou constante) implicitement définissable par une théorie — c'est-à-dire que tout deux modèles de la théorie qui coïncident sur le langage de base coïncident également sur l'interprétation de ce symbole — admet une définition explicite par une formule du langage initial (c.-à-d. une formule définissante explicite).

Principe

L'idée organisatrice est que l'unicité sémantique (définissabilité implicite) doit pouvoir se convertir en spécification syntaxique (une formule explicite) : si la théorie impose une interprétation unique d'un symbole à moins d'accord sur le vocabulaire de base, cette interprétation peut être capturée par une formule utilisant le vocabulaire de base.

Démonstration

Exemple : le théorème de Beth montre que la logique du premier ordre classique satisfait cette propriété : si un symbole prédicat est implicitement défini par une théorie du premier ordre, alors il existe une formule du premier ordre (dans le langage réduit) qui le définit explicitement.

Mauvaise application

Supposer la propriété de Beth dans des logiques où elle échoue (certaines logiques modales, intuitionnistes ou des extensions du premier ordre ne l'ont pas) ou confondre la définissabilité implicite (unicité sémantique) avec une simple extension conservative ou la possibilité d'éliminer un symbole sans produire une formule explicite.

Conséquence

Quand la propriété de Beth tient, on peut remplacer des définitions implicites par des définitions explicites, ce qui simplifie les axiomatismes, permet d'éliminer des symboles auxiliaires et relie la propriété à des phénomènes d'interpolation et d'interpolation uniforme dans la logique.

Inversion

L'échec de la propriété de Beth donne lieu à des phénomènes où un concept est déterminé de façon unique par une théorie mais aucune formule du langage de base ne le désigne ; ces échecs signalent un fossé entre détermination sémantique et exprimabilité syntaxique.

Limite

Concerne la définissabilité des symboles non logiques par rapport à un langage de base ; elle n'affirme pas en soi la constructibilité algorithmique de la définition explicite et ne s'applique pas aux notions méta-théoriques extérieures au langage de la théorie.

Tension sémantique

Il existe une tension entre impliciteté sémantique et explicitation syntaxique et entre la propriété de Beth et les extensions expressives : des ressources expressives plus fortes peuvent faciliter la définissabilité explicite, tandis que des logiques plus faibles ou constructives peuvent séparer implicit et explicite.

Synthèse

La propriété de définissabilité de Beth relie unicité sémantique et définissabilité syntaxique : lorsqu'elle tient, tout concept imposé de façon unique par une théorie admet une formule explicite dans le langage original, comblant le fossé entre détermination modèle-théorique et spécification preuve-théorique.