Die Eigenschaft, dass jedes nicht-logische Symbol (Relation, Funktion oder Konstante), das von einer Theorie implizit definierbar ist — das heißt: egal welche zwei Modelle der Theorie, die in der Basissprache übereinstimmen, stimmen auch in der Interpretation dieses Symbols überein — durch eine explizite Formel in der Ausgangssprache definiert werden kann (es existiert eine explizite Definitionsformel).

Prinzip

Die ordnende Idee ist, dass semantische Eindeutigkeit (implizite Definierbarkeit) in eine syntaktische Spezifikation (explizite Formel) überführbar sein sollte: Falls die Theorie eine eindeutige Interpretation eines Symbols erzwingt, so kann diese Interpretation durch eine Formel der Basissprache erfaßt werden.

Demonstration

Beispiel: Beths Theorem besagt, dass die klassische erste Ordnung diese Eigenschaft erfüllt: Ist ein Relationssymbol durch eine Theorie implizit definiert, so existiert eine erste-Ordnung-Formel (in der kleineren Sprache), die es explizit definiert.

Fehlanwendung

Die automatische Annahme von Beth-Definierbarkeit in Logiken, in denen sie nicht gilt (manche modalen, intuitionistischen oder erweiterten ersten-Ordnung-Logiken besitzen sie nicht), oder die Verwechslung impliziter Definierbarkeit (semantische Eindeutigkeit) mit bloßer konservativer Erweiterung oder Eliminierbarkeit ohne explizite Formel.

Konsequenz

Wenn die Beth-Eigenschaft gilt, lassen sich implizite Definitionen durch explizite ersetzen, was die Axiomatisierung vereinfacht, die Eliminierung von Hilfssymbolen ermöglicht und Verbindungen zu Interpolation und uniformer Interpolation in der Logik herstellt.

Umkehrung

Das Versagen der Beth-Eigenschaft führt zu Fällen, in denen ein Konzept von einer Theorie eindeutig bestimmt ist, aber keine Formel in der Basissprache es bezeichnet; solche Fälle weisen auf eine Lücke zwischen semantischer Bestimmtheit und syntaktischer Ausdrucksfähigkeit hin.

Abgrenzung

Betrifft die Definierbarkeit nicht-logischer Symbole relativ zu einer Basissprache; sie behauptet nicht per se die algorithmische Konstruktibilität der expliziten Definition und gilt nicht für metatheoretische Begriffe außerhalb der Sprache der Theorie.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen semantischer Implizitheit und syntaktischer Explizitheit sowie zwischen der Beth-Eigenschaft und expressiven Erweiterungen: stärkere Ausdrucksmittel können explizite Definierbarkeit erleichtern, während schwächere oder konstruktive Logiken implizit und explizit trennen können.

Synthese

Die Beth-Definierbarkeitseigenschaft verbindet semantische Eindeutigkeit mit syntaktischer Definierbarkeit: Wenn sie gilt, lässt sich jedes durch eine Theorie eindeutig erzwungene Konzept durch eine explizite Formel in der Ausgangssprache beschreiben und schließt so die Lücke zwischen modelltheoretischer Bestimmung und beweistheoretischer Spezifikation.