Une formule adoptée comme hypothèse fondamentale d'un système formel à partir de laquelle d'autres formules peuvent être déduites ; les axiomes servent de vérités primitives ou de points de départ pour la déduction dans un langage et une logique donnés.

Principe

Un axiome est choisi (souvent pour sa puissance explicative, sa simplicité ou sa commodité) pour être accepté sans preuve dans le système afin qu'avec les règles d'inférence il engendre des théorèmes par déduction.

Démonstration

Dans la théorie des ensembles ZF, l'axiome d'extensionalité affirme que deux ensembles sont égaux exactement quand ils ont les mêmes éléments ; cet axiome est traité comme une formule de base d'où découlent des conséquences en théorie des ensembles.

Mauvaise application

Présenter une régularité empirique ou une assertion explicative informelle comme axiome d'une théorie formelle sans codage formel ni vérification d'indépendance confond preuve empirique et fondement logique et peut masquer des incohérences.

Conséquence

Les axiomes déterminent le contenu déductif d'une théorie : choisir des axiomes différents conduit à des théories et des classes de modèles différentes ; des résultats d'indépendance montrent que certains axiomes ne sont pas dérivables d'autres.

Inversion

Un théorème est l'inversion du rôle axiomatique : un théorème est une assertion dérivée des axiomes plutôt qu'assumée, de sorte que l'inversion met l'accent sur la dérivabilité plutôt que sur la primauté.

Limite

Un axiome est relatif à un langage formel et à un calcul choisis ; ce n'est pas une loi de la nature en soi, il peut être indépendant ou incohérent avec d'autres axiomes, et son statut peut changer si la logique ou le langage ambiant change.

Tension sémantique

Il existe une tension entre considérer les axiomes comme des vérités évidentes (lecture philosophique) et les traiter comme des graines formelles choisies pour construire des structures (lecture mathématique) ; les deux lectures éclairent des usages différents des axiomes.

Synthèse

Un axiome est une formule primitive acceptée dans un système formel pour amorcer la déduction ; avec les règles d'inférence il ancre les conséquences de la théorie, façonne ses modèles et devient le point focal des questions d'indépendance et de consistance.