Una fórmula adoptada como asunción fundamental de un sistema formal a partir de la cual pueden derivarse otras fórmulas; los axiomas sirven como verdades primitivas o puntos de partida para la deducción dentro de un lenguaje y una lógica especificados.

Principio

Un axioma se elige (a menudo por su poder explicativo, simplicidad o conveniencia) para aceptarse sin prueba en el sistema, de modo que, junto con las reglas de inferencia, genere teoremas por deducción.

Demostración

En la teoría de conjuntos ZF, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos son iguales exactamente cuando tienen los mismos elementos; este axioma se trata como una fórmula básica de la que se derivan consecuencias sobre conjuntos.

Aplicación incorrecta

Presentar una regularidad empírica o una afirmación explicativa informal como axioma de una teoría formal sin codificación formal ni comprobación de independencia confunde la evidencia empírica con el fundamento lógico y puede ocultar incoherencias.

Consecuencia

Los axiomas determinan el contenido deductivo de una teoría: elegir axiomas distintos produce teorías distintas y diferentes clases de modelos; resultados de independencia muestran que algunos axiomas no se derivan de otros.

Inversión

Un teorema es la inversión del papel axiomático: un teorema es una afirmación derivada de los axiomas en lugar de asumida, de modo que la inversión pone el énfasis en la derivabilidad en lugar de en la primacía.

Límite

Un axioma es relativo al lenguaje formal y al cálculo elegidos; no es por sí mismo una ley de la naturaleza, puede ser independiente o inconsistente con otros axiomas, y su estatus puede cambiar si cambia la lógica o el lenguaje de referencia.

Tensión semántica

Existe tensión entre considerar los axiomas como verdades evidentes (lectura filosófica) y tratarlos como semillas formales elegidas para construir estructuras (lectura matemática); ambas lecturas influyen en distintos usos de los axiomas.

Síntesis

Un axioma es una fórmula primitiva aceptada en un sistema formal para iniciar la deducción; junto con las reglas de inferencia ancla las consecuencias de la teoría, moldea sus modelos y se convierte en punto focal de preguntas sobre independencia y consistencia.