Comportement singulier localisé de la solution d'une équation aux dérivées partielles apparaissant au niveau de coins géométriques ou d'angles intérieurs de la frontière du domaine, se manifestant généralement par des gradients non bornés ou une divergence en loi de puissance des quantités du champ.

Principe

La géométrie locale (l'angle intérieur) d'un coin de frontière modifie la régularité de la solution : des modes propres liés au coin induisent des comportements en loi de puissance r^λ, l'exposant λ dépendant de l'angle et des conditions aux limites, ce qui réduit les taux de convergence des approximations standard.

Démonstration

Sur un domaine en L résolvant l'équation de Laplace avec conditions de Dirichlet homogènes, le coin rentrant à 270° produit une solution dont le gradient se comporte comme une puissance négative de la distance au coin, entraînant de grandes erreurs sauf si la singularité est résolue ou enrichie.

Mauvaise application

Attribuer la divergence locale observée uniquement à un maillage ou un solveur défectueux plutôt que de reconnaître l'origine géométrique ; supprimer le raffinement local sans traiter la fonction singulière du coin ne rétablira pas la convergence correcte.

Conséquence

La reconnaissance d'une singularité de coin impose des remèdes ciblés (raffinement local du maillage, maillages gradués, enrichissement par fonctions singulières ou p-adaptivité) pour retrouver la précision et les taux de convergence attendus des schémas numériques.

Inversion

Si le coin de la frontière est régularisé en une courbe C1 ou analytique (absence de coin géométrique), la singularité disparaît et la solution retrouve une régularité supérieure conforme à la théorie des frontières lisses.

Limite

S'applique aux problèmes aux limites sur des domaines à bords non lisses (coins) pour les équations elliptiques et souvent pour les problèmes paraboliques ou élastostatiques ; ne décrit pas le comportement singulier provoqué uniquement par des termes sources singuliers ou des données aux limites incompatibles sur des frontières lisses.

Tension sémantique

Souvent confondue avec des artefacts numériques (oscillations spurious) ou avec des singularités physiques dues à des sources ; la singularité de coin est une irrégularité analytique induite par la géométrie, distincte du bruit de discrétisation ou des sources de type delta.

Synthèse

La singularité de coin est la perte de régularité induite par la géométrie aux coins du domaine : prédite par des modes dépendant de l'angle, observée comme une divergence en loi de puissance des dérivées, et nécessitant des corrections analytiques ou des stratégies de maillage pour restaurer la convergence numérique.