Un processus stochastique combinant une évolution continue de type diffusion (généralement une composante brownienne) et des événements discrets de saut gouvernés par une mesure de saut ou un processus ponctuel, produisant des trajectoires continues entre sauts et discontinues aux instants de saut.

Principe

La dynamique est gouvernée par un terme de diffusion capturant de petites fluctuations fréquentes et un terme de saut spécifiant les temps d'arrivée et les amplitudes de mouvements soudains ; mathématiquement représenté par une EDS comprenant une partie entraînée par un brownien et une mesure aléatoire de Poisson compensée ou un processus de saut.

Démonstration

Un modèle de prix d'actif où le logarithme du prix suit la plupart du temps un mouvement brownien géométrique mais subit occasionnellement des variations ponctuelles en pourcentage à des temps aléatoires tirés d'un processus de Poisson avec une distribution d'amplitude de saut spécifiée ; cela induit des queues épaisses et de l'asymétrie dans les distributions de rendement.

Mauvaise application

Ignorer la composante de saut lors de la calibration sur des données présentant des discontinuités marquées, ou utiliser une spécification de saut avec une intensité ou une distribution d'amplitude irréaliste qui mal représente le comportement des queues empiriques.

Conséquence

L'intégration correcte des sauts conduit à des évaluations de risque extrême plus précises, modifie la tarification et les stratégies de couverture des options, et influe sur les temps de passage et les probabilités de ruine dans des applications concrètes.

Inversion

Retirer le terme de saut donne un processus de diffusion pur (trajectoires continues, par exemple un mouvement brownien géométrique) qui ne peut représenter des discontinuités soudaines ; inversement, annuler la diffusion produit un processus à sauts purs avec trajectoires en escalier entre sauts.

Limite

S'applique lorsque fluctuations de petite échelle et chocs occasionnels importants sont pertinents et que les arrivées de sauts peuvent être modélisées par des processus ponctuels ; exclut les modèles où les sauts sont déterministes, entièrement endogènes sans intensité séparée, ou lorsque la microstructure invalide les approximations en temps continu.

Tension sémantique

Une tension existe entre la modélisation par diffusions continues (analytique) et par sauts discrets (nécessaires pour le risque de queue), ainsi qu'entre parcimonie de calibration et capture des mouvements extrêmes observés empiriquement.

Synthèse

Un processus de diffusion à sauts étend les modèles diffusifs en superposant un mécanisme de sauts stochastiques : l'évolution typique est de nature diffusive tandis que les mouvements rares et brusques sont modélisés explicitement, permettant de représenter conjointement la variabilité quotidienne et les chocs soudains.