Une équation différentielle dont un ou plusieurs termes sont des processus stochastiques (signaux aléatoires), de sorte que les solutions sont des processus aléatoires ; s'écrit classiquement en notation différentielle qui encode des intégrales stochastiques (par exemple forcée par un mouvement brownien ou un bruit de Lévy).

Principe

La perturbation aléatoire est représentée par des intégrales stochastiques et doit être interprétée selon une convention d'intégration choisie (par exemple Itô ou Stratonovich) ; ce choix modifie les règles de calcul, les termes de dérive et la relation entre l'évolution des trajectoires et les densités de probabilité.

Démonstration

L'équation de Langevin pour une particule soumise à un amortissement visqueux et à un bruit blanc : la vitesse évolue selon un terme de traînée déterministe plus un terme proportionnel à dW_t, où W_t est un mouvement brownien ; les trajectoires sont continues mais nondifférentiables et les statistiques d'ensemble satisfont l'équation de Fokker–Planck correspondante.

Mauvaise application

Traiter le terme stochastique comme une fonction ordinaire dépendant du temps et appliquer la règle de dérivation classique, ou omettre de préciser l'interprétation de l'intégrale stochastique lors de transformations de l'équation.

Conséquence

Une formulation correcte donne des flux stochastiques bien définis, des propriétés de régularité des trajectoires et des équations avant pour les densités de probabilité ; elle permet de modéliser des systèmes influencés par des bruits intrinsèques ou environnementaux et d'étayer l'estimation statistique et la synthèse de commande.

Inversion

La suppression des termes stochastiques ramène à une équation différentielle ordinaire déterministe avec trajectoires uniques pour des conditions initiales données ; changer d'interprétation (Itô ↔ Stratonovich) modifie la dérive et les identités de calcul mais décrit la même famille de phénomènes physiques lorsqu'on applique les corrections adéquates.

Limite

S'applique lorsque l'aléa peut être modélisé par un semimartingale ou un autre processus stochastique spécifié ; exclut les situations où le bruit a une mémoire longue incompatible avec des hypothèses markoviennes sauf extension de la formulation, et exclut l'usage inapproprié des SDE pour des systèmes à temps discret ou des processus discrets non stochastiques.

Tension sémantique

Une tension existe entre les interprétations Itô et Stratonovich et entre la commodité mathématique (Itô pour les méthodes martingales) et l'adéquation physique (Stratonovich comme limite de bruits lisses).

Synthèse

Une équation différentielle stochastique est la formulation différentielle d'un système dynamique entraîné par des entrées aléatoires, où les intégrales stochastiques et un choix explicite d'interprétation relient les fluctuations microscopiques au comportement probabiliste des observables macroscopiques.